• Название:

    MR 1 Lapteva T (3)


  • Размер: 0.03 Мб
  • Формат: DOCX
  • Сообщить о нарушении / Abuse

    Осталось ждать: 20 сек.

Установите безопасный браузер



Предпросмотр документа

Т.Д. Лаптева

Пермь, ПГГПУ, 3 курс

Научный руководитель: канд. пед. наук, доц. А.Ю. Скорнякова

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Изучение неравенств, в том числе, логарифмических, является не только неотъемлемой частью программы по алгебре средней школы, но и таких дисциплин, как элементарная математика или математический анализ в профессиональных учебных заведениях. Способов решения логарифмических неравенствмножество, но наиболее универсальным и менее трудоёмкимна практике является метод рационализации (метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены функций, правило знаков), известный уже более 50 лет[1].

Сущностьметода заключается в замене сложного логарифмического неравенстваболее простым (рациональным) неравенством, то есть замены нелинейных функций на линейные, совпадающие по знаку с исходными на той же области определения. Иными словами, у некоторых неравенствF(x)и G(x) совпадает знак на области определения F(x), если для любого x из области определения F(x)неравенствоG(x)тоже определено и при этом из F(x)△0 следует Gx△0 (за символ△ примем знаки неравенств <,>,= соответственно)[2].

Зависимость между логарифмическим неравенством и рациональным неравенством представлена вследующей таблице:

Логарифмическое неравенство

Рациональное выражение

1

loga(x)f(x)-loga(x)g(x)△0

(ax-1)(fx-gx)△0

2

loga(x)f(x)△0

(ax-1)(fx-1)△0

3

loga(x)f(x)-1>0

ax-1fx-ax△0

4

loga(x)f(x)+loga(x)g(x)△0

ax-1fx∙gx-1△0

5

loga(x)f(x)-logb(x)f(x)△0

(ax-1)(bx-1)(fx-1)(bx-ax)△0

6

loga(x)f(x)∙logb(x)g(x)△0

ax-1fx-1(bx-1)(gx-1)△0

В вышеуказанной таблице символом △ обозначены знаки неравенств <,>,≤,≥, = (при решении уравнений метод рационализации тоже используется), причем fx>0,gx>0, ax>0, ax≠1,
bx>0,b(x)≠1.

Для доказательства связи неравенств первой строчки таблицы достаточно рассмотреть один из двух случаев, например, когда исходное неравенствоотрицательно, то есть loga(x)f(x)-loga(x)g(x)<0. Поскольку это неравенство равносильно совокупности следующих систем a(x)>1f(x)<g(x)0<a(x)<1f(x)>g(x), которая, в свою очередь, равносильна неравенству
(ax-1)(fx-gx)<0. Отсюда, по закону транзитивности, выражения loga(x)f(x)-loga(x)g(x)<0 и ax-1fx-gx<0 равносильны. Второй случай, когда loga(x)f(x)-loga(x)g(x)>0, доказывается аналогично.

Доказательства формул в последующих двух строках таблицы являются аналогичными, поскольку являются следствиями из доказанной выше зависимости. Обоснование равносильности формул из четвёртой строчки таблицы также можно свести к доказательству неравенств из первой строки, путём нескольких преобразований (воспользовавшись правилом сложения логарифмов).Чтобы провести доказательство равносильности неравенств последних строк, необходимо сначала воспользоваться правилом перехода двух логарифмов с разными основаниями к одному, затем провести еще ряд некоторых преобразований и перейти к уже известной идее доказательства.

Проиллюстрируем метод рационализации на примере логарифмического неравенства, применяя формулу перехода из первой строки таблицы:logx2(5x-3)-logx(5x-3)≥0,область допустимых значений которогонаходится из системы x>0,x≠1,5x-3>0, то есть
x∈(35;1)∪(1;+∞). Для большего удобства преобразуем исходное неравенство следующим образом:
logx5x-3[logx5x-3-1]≥0. Воспользуемся указанной выше таблицей для метода рационализации и запишем исходное неравенство в новойформе, то есть
x-15x-3-1[(x-1)(5x-3)-x]≥0.Путём некоторых преобразований получили неравенство (x-1)2(5x-4)(4x-3)≥0. Решением полученного неравенства является множество значений
x∈-∞; 34∪[45; +∞). Учитывая область определения логарифмов, получим решение искомого неравенства, то есть
x∈35; 34∪[45;1)∪(1; +∞).

Таким образом, при решении логарифмических неравенств (в частности, неравенства выше) нам не пришлось рассматривать несколько случаев с основанием логарифма при использовании этого нестандартного метода, что, в свою очередь, является его существенным преимуществом.

Список литературы:

О применении метода рационализации при решении неравенств[Электронный ресурс]. – Электрон.данные – Режим доступа : https://kpfu.ru//staff_files/F1977879220/Metod_racionalizacii.pdf (дата обращения: 16.09.2019).

Лысенко, Ф.Ф. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014: решаем задание С3 методом рационализации / Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 32с.