• Название:

    строймех


  • Размер: 0.1 Мб
  • Формат: DOCX
  • Сообщить о нарушении / Abuse

    Осталось ждать: 20 сек.

Установите безопасный браузер



Предпросмотр документа

Сущность метода перемещений на примере задачи с двумя неизвестными.

Определить внутренние усилия (M, Q, N) в статически неопределимых системах в  HYPERLINK "http://5stroymeh.ru/1-stroitelnaya-mekhanika.html" \t "_blank" строймехе можно методом перемещений.

Для этого метода в систему вводятся дополнительные связи, а за неизвестные принимаются перемещения во введенных связях.

Так как за неизвестные принимаются перемещения (угловые и поступательное), то общее число неизвестных называется степенью кинематической неопределимости и рассчитывается по формуле:

n=nугл+nлин

где nугл – количество углов поворота жестких узлов (равно числу жестких узлов в системе) (рис. 1, г, д);

      nлин – количество возможных линейных перемещений.

Например, в раме (рис. 1, а) nугл =2.

При определении nлин во все жесткие узлы и опоры заданной системы устанавливают шарниры и определяют число линейных перемещений на базе известной формулы кинематического анализа:

nлин =3Д–2Ш-С0

В рассматриваемом примере (рис. 1, а): nлин=2 6 – 5 – 6 =1. Т.е. число независимых линейных перемещений равно числу стержней, которые надо ввести в шарнирную схему сооружения, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую.

Неизвестные перемещения обозначаются: Z1, Z2, ..., Zn.

После расчета количества неизвестных в заданную систему (ЗС) вводят столько же связей для предотвращения перемещений концов ее стержней. При этом система делится на однопролетные статически неопределимые балки. Полученная система является основной системой (ОС) метода перемещений. А сама ОС называется кинематически определимой.

В рассматриваемом примере в раму введем две заделки в жесткие узлы и одну шарнирно-подвижную опору. Полученная схема (рис. 1, в) будет ОС метода перемещений.

Для образования ОС метода перемещений требуется:

– в жесткие узлы заданной системы ввести nугл заделок;

– в направлении поступательных перемещений узлов заданной системы ввестиnлин шарнирно-подвижных опор.

Введенная заделка в отличии от обычной заделки исключает лишь угловое перемещение узла, оставляя возможность линейного смещения.

Полученная ОС метода перемещений будет единственной.

Рама, приведенная на рис. 2, а, четырежды статически неопределима. При ее расчете методом сил нужно исключать четыре лишние связи и выбирать основную систему, например, такую как на рис. 2, б.

Рисунок 2. Канонические уравнения метода перемещений

В методе перемещений в раму необходимо ввести n=nугл+nлин=1+0=1 кинематическую связь (жесткую заделку – рис. 2, б). Если неизвестное угловое перемещение узла обозначить через Z, получим ОС показанную на рис. 2 в.

nлин=3·3–2·2–5=0

Чтобы усилия и деформации ОС были аналогичными ЗС, перемещение Z должно быть равно углу поворота узла рамы (рис. 2, а), а реактивный момент во введенной заделке основной системы (рис. 2, в) должен равняться нулю: R =0.

Указанную реакцию определяют рассматривая единичное и грузовое состояния основной системы.

В единичном состоянии введенной связи зададим единичное перемещение (угол поворота, равный единице) и определим возникающую в ней реакцию r (рис. 2, г). В грузовом состоянии будем учитывать только заданную внешнюю нагрузку и во введенной связи основной системы определим реакцию RP (рис. 2, д).

С учетом упругости системы и принципа суперпозиции получаем следующее уравнение:

r · Z+ RP =0         

где r – реактивный момент в заделке от поворота этой заделки на угол, равный 1 (или от линейного перемещения на 1).

Полученное уравнение называется каноническим уравнением метода перемещений.

Если известны величины реакций r и RP, то можно определить величину узлового перемещения:

Z= – RP /r.

Для стержневой системы, степень кинематической неопределимости которой равна n, ОС образуется введением n дополнительных связей с неизвестными Z1, Z2, …, Zn. Соответственно, необходимо составить n уравнений. Далее исследуются n единичных состояний и одно грузовое состояние. 

где rii – главные коэффициенты;

      rij – боковые коэффициенты;

      Rip – грузовые коэффициенты.

Полученная система уравнений называется системой канонических уравнений метода перемещений.

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений можно определять статическим или кинематическим способами.

Статический способ основан на определении реакций во введенных связях основной системы из уравнений равновесия. Для этого необходимо вырезать отдельные узлы или части основной системы и составить уравнения равновесия (статики). Если искомая реакция является  моментом, то она определяется из условия равенства нулю момента в узле, если же она является  силой, то определяется из уравнения проекции на ось (например, на ось x) в направлении этой реакции. Статический способ достаточно прост для использования, поэтому является основным способом определения коэффициентов системы канонических уравнений.

Кинематический способ основан на определении коэффициентов канонических уравнений путем перемножения эпюр. Этот способ используется в случае когда  статическим способом рассчитать сложно или для проверки результатов статического способа.

После определения всех коэффициентов они подставляются в систему канонических уравнений. После ее решения определяются неизвестные Z1, Z2, …, Zn. Далее аналогично методу сил определяются внутренние усилия.

Вначале рассчитываются изгибающие моменты:

Далее по эпюре изгибающих моментов (M) определяются поперечные силы (Q), а по ним методом вырезания узлов – продольные силы (N).

Проверка правильности построения эпюр М, Q, N выполняется аналогично методу сил:

– статическая проверка состоит в составлении уравнений равновесия для реакций в опорах статически неопределимой системы, которые могут быть определены из построенных эпюр внутренних усилий, т.е.:

– деформационная проверка – в результате умножения окончательной эпюры изгибающих моментов М, полученной методом перемещений, на любую из единичных эпюр, построенных для основной системы метода сил. В результате должен получаться нуль.

Основной подход м.п. алгоритм, пример

Алгоритм метода перемещений

Метод перемещений реализуется в следующей последовательности:

1. Определение степени кинематической неопределимости n.

где nугл – число жестких узлов в раме, nлин  - число возможных линейных перемещений узлов и подвижных опор рамы.

Степень кинематической неопределимости равна числу неизвестных углов поворота и перемещения жестких узлов рамы Z.

2. Выбор основной системы путем введения дополнительных связей.

2.1. В каждый жесткий узел вводится “плавающая” заделка, препятствующая повороту узла, но не мешающая ее линейному перемещению (всего вводится  nугл заделок),

2.2. Вводят дополнительные опорные стержни, препятствующие линейным перемещениям узлов системы (всего вводится nлин опор).

Таким образом, основная система метода перемещений – это система балок с  закрепленными и несмещаемыми концами. В отличие от метода сил  в методе перемещений возможна только одна основная система.

3. Для определения неизвестных записывают канонические уравнения метода перемещений, смысл которых состоит в том, что приравниваются нулю реакции во введенных связях, т.е. снимается противоречие между рассчитываемой и основной системой.

Для системы n раз кинематически неопределимой канонические уравнения имеют вид

Здесь  - реакция в введенной связи с индексом i от единичного перемещения связи с индексом  j,  RiP -  реакция в введенной связи с индексом i от заданной  нагрузки.

На основе теоремы о взаимности реакций система симметрична относительно диагонали, то есть .         

4. Рассмотрение единичных и грузового состояний.

5. Определяют коэффициенты и свободные (грузовые) члены канонических уравнений.

5.1. В основной системе последовательно строят единичные эпюры моментов Мi – эпюры изгибающих моментов от поворотов заделок на угол, равный единице и от единичных линейных перемещений по направлению введенных дополнительных опорных стержней. Эти эпюры строят при помощи таблицы 1.

5.2. В основной системе по таблицам строят грузовую эпюры МР от заданной нагрузки.

5.3. Вычисляют коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, последовательно рассматривая равновесие узлов (для определения реактивных моментов) или отдельных стержней рамы (для определения реакций во введенных опорах).

6. Решают систему канонических уравнений, находят неизвестные углы поворота и перемещения узлов Z1 ,Z2 …

7. Построение окончательной эпюры M.

М=МР+М1Z1 + M2Z2 + …  

Удобно вначале построить так называемые исправленные эпюры моментов М1Z1, M2Z2 …,полученные умножением ординат каждой единичной эпюры Мi на найденное соответствующее значение Zi .Если какое либо перемещение или угол поворота Zi получилось со знаком минус, то это означает, что исправленная эпюра должна быть построена на противоположном, чем единичная эпюра, волокне.

8. Проверка правильности расчета. Она проводится аналогично методу сил – статическим и кинематическим способами. Рассматривают равновесие моментов  во всех жестких узлах рамы.

9. По эпюре моментов (по формуле Журавского)  строят эпюру поперечных сил Q.

10. Из условия равновесия узлов рамы определяют продольные усилия N в ее стержнях.

11. Проводят второй этап проверки:  отрезают раму от опор, прикладывают найденные продольные и поперечные силы в полученных сечениях и проверяют равновесие рамы вцелом.

Как видим, алгоритмы метода перемещений и метода сил совпадают. Но при более подробном рассмотрении можно выявить не только сходные, но и принципиально отличающиеся стороны этих методов. Рассмотрим некоторые из них:

− оба метода используются для расчета статически неопределимых систем; при принятии одинаковых допущений оба приводят к единому результату, а при использовании в разных областях дополняют друг друга;

− в методе сил неизвестными являются силы, а в методе перемещений неизвестными являются перемещения; при расчете одной и той же системы число их неизвестных часто бывает разным, поэтому одни системы выгоднее рассчитывать методом сил, другие − методом перемещений;

− в методе сил основная система получается удалением связей, а в методе перемещений – введением связей; в методе сил вариантов основной системы много, а в методе перемещений она единственна;

− единичные состояния в методе сил определяются воздействием единичных сил, в методе перемещений – единичных перемещений;

− в методе сил необходимые эпюры в основной системе строятся обычным способом, а в методе перемещений – по готовой таблице;

− коэффициенты канонических уравнений в методе перемещений определяются проще (из уравнений статики);

− многие из боковых коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений равняются нулю, что упрощает ее решение и т.д.

Для расчета рамы методом перемещений нужно:

1) уметь правильно выбирать основную систему и назначать неизвестные перемещения;

2) уметь строить эпюры изгибающих моментов и находить опорные реакции в балках с полностью или частично заделанными концами при различных силовых и кинематических воздействиях.

4.Особенности учета симметрии м.п.

При расчёте симметричных балок и рам его можно упростить, применив группировку неизвестных. Для этого неизвестные перемещения симметрично расположенных узлов группируются в новые парные неизвестные, представляющие собой симметричные и обратносимметричные (кососимметричные) перемещения. В результате этого все эпюры от единичных неизвестных становятся только симметричными или обратносимметричными, а канонические уравнения распадаются на две независимые системы, содержащие только симметричные неизвестные или только обратносимметричные неизвестные. Заметим, что неизвестные перемещения узлов, расположенных на оси симметрии, изначально обладают симметрией или обратной симметрией и поэтому не группируются.

Вид канонических уравнений при группировке неизвестных остаётся прежний. Однако значения единичных коэффициентов и свободных членов приобретают в них иной смысл. Здесь  и  – обобщённые реакции, соответствующие обобщённому перемещению  от парного смещения  и от нагрузки. Эти обобщённые реакции равны алгебраическим суммам простых  реакций в связях, которые одновременно смещаются при групповом парном перемещении .

Положительными направлениями реакций принимаются такие, которые совпадают с задаваемыми направлениями перемещений тех связей, в которых они возникают.

5. Особенности м.п. на темп воздействие

В плоской n раз кинематически неопределимой стержневой системе краевые волокна всех или части элементов испытывают воздействие температурного поля (рис. 8.39,а). Характеристиками этого поля для k-го стержня сооружения являются: перепад приращения температуры по высоте поперечного сечения  и приращение температуры на уровне его центра тяжести  (см. п. 8.9.1).

Рис.8.39

Наложением n угловых и линейных связей образуем основную систему метода перемещений заданного сооружения (рис. 8.39,б). Неизвестные угловые и линейные перемещения его узлов Z1, Z2,…, Zi,…, Zj,…, Zn определим из условий равенства нулю реакций в наложенных связях от их смещения на величины Z1, Z2,…, Zi,…, Zj,…, Zn и от заданного изменения температуры.

Используя принцип независимости действия сил и повторяя выкладки, приведенные в п. 8.3, получим систему канонических уравнений метода перемещений для определения неизвестных Z1, Z2,…, Zi,…, Zj,…, Zn в случае температурного воздействия на сооружение

      (8.29)

Величины главных rii и побочных rij коэффициентов системы уравнений (8.29) не зависят от вида воздействия на сооружение и определяются по-прежнему (см. п. 8.5).

Свободные члены системы канонических уравнений (8.29) Rit – это реакции в i-х наложенных связях от изменения температуры в основной системе метода перемещений. Они определяются по эпюрам внутренних усилий (в рамках и балках – по эпюрам изгибающих моментов), построенным в основной системе от температурного воздействия статическим способом, т.е. из условий равновесия узлов и отдельных частей сооружения.

Эпюра изгибающих моментов  от изменения температуры в основной системе метода перемещений складывается из двух эпюр:  –  от неравномерных приращений температуры и эпюры – от равномерных.

Для построения эпюры изгибающих моментов  от неравномерных приращений температуры  используются стандартные задачи, приведенные в п. 8.9.1 настоящей лекции (см. рис. 8.37,д и 8.38,а).

Равномерное приращение температуры  в основной системе метода перемещений вызывает линейные смещения узлов сооружения и, следовательно, перекосы его элементов, численные значения которых можно получить, используя план перемещений. В данном случае при построении этого плана необходимо учитывать продольные перемещения стержней, вызванные их равномерным нагреванием или охлаждением. Зная перекосы стержней, эпюру изгибающих моментов  в основной системе метода перемещений построим с помощью стандартных задач, полученных от линейных кинематических воздействий (см. рис. 8.12 и 8.13).

Окончательную эпюру изгибающих моментов Mt в заданном сооружении от температурного воздействия после решения системы уравнений (8.29) получим, используя соотношение:

     (8.30)

В формуле (8.30)  =+.

Эпюры поперечных и продольных сил Qt и Nt построим по эпюре изгибающих моментов Mt , используя условия равновесия отдельных элементов и узлов заданного сооружения.

Эпюры внутренних усилий Mt, Qt и Nt, полученные методом перемещений, построены правильно, если выполнена статическая проверка решения задачи, т.е. если все узлы и любые части заданного сооружения находятся в равновесии.

5. особенности м.п. на темп. воздействия

Канонические уравнения метода сил при расчете любой статически неопределимой системы на действие температуры имеют вид:

Здесь  — имеют те же значения, что и при расчете на действие внешней нагрузки;  - представляют собой температурные перемещения в основной системе по направлениям лишних неизвестных усилий . Определяются эти перемещения по формуле (5.30) или (5.31)

или

Смысл канонических уравнений в этом случае, как и обычно, заключается в том, что суммарные перемещения по направлениям отброшенных связей равны нулю.

Рис. 6.28

Рис. 6.29

8. свойства жесткости, податливость в стержневых системах

Опорные устройства реальных сооружений и конструкций обладают определенной податливостью, которую нередко приходится учитывать при составлении их расчетных схем.

Упруго-податливой связью (упруго смещающейся опорой) считают такую связь, перемещение которой пропорционально действующей на нее нагрузке (реакции). Упругими характеристиками таких опор являются коэффициенты податливости или жесткости, которые должны быть заданы заранее.

Под коэффициентом податливости понимается перемещение опоры, вызванное единичной силой. Например, коэффициентом податливости такой опоры, которую можно представить в виде стержня (рис. 1.9 а) длиной и с поперечным сечением  (укорочение  ), является число . Коэффициентом жесткости  (жесткостью опоры) называется величина, обратная податливости, то есть  (рис. 1.9 б). При этом , а величины и подбирают так, чтобы  . Коэффициент жесткости представляет собой величину силы, необходимой для единичного смещения опоры.

В качестве примера системы, в которой учитывается упругая податливость опорных связей, рассмотрим неразрезную балку (рис. 1.10 а). Ее левая опора представляет собой заделку, упруго сопротивляющуюся повороту (упругая моментная связь), а промежуточная опора - сосредоточенную упругую опору в виде пружины. Коэффициенты жесткости опор ,  считаем заданными.

Основная система, используемая при расчете балки методом перемещений, показана на рис. 1.10 б. Неизвестными являются углы поворота поперечных сечений балки в точках 1 и 2, а также линейное вертикальное перемещение опоры 2. Единичные и грузовая эпюры приведены на рис. 1.10 в-е.

При вычислении коэффициентов  и в их выражения войдут коэффициенты жесткости заделки  и промежуточной опоры  соответственно как реакции, возникающие в упругих моментной и линейной связях

В дальнейшем расчет балки идет согласно обычному алгоритму метода перемещений.