• Название:

    Объемы

  • Размер: 0.14 Мб
  • Формат: DOCX
  • или

Задачи:

Тип 1 ( простые)

1.Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей – 10. Найдите объем конуса. В ответе запишите vπ.

Решение:

V=13 πr2h

r=6 h=8 V=13π∙62∙8=96π

Ответ: 96.

2. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4, 5 и 8. Найдите объем параллелепипеда.

V=a∙b∙c-формула с 5 класса

V=4∙5∙8=160

Ответ:160

3. Радиус основания цилиндра равен 4, высота 10π . Найдите объем цилиндра.

V=πr2h

V=π∙42∙10π=160

Ответ:160

4. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3. Найдите объем пирамиды, если её высота равна 9.

V=13 Sоснh

Sосн =12∙a∙b S=12∙3∙4=6

V=13∙6∙9=18

Ответ:18

5. Объем конуса равен 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту конуса пополам. Найдите объем отсеченного конуса.

Способ 1.

Линейные размеры большого конуса r и h. Линейные размеры маленького конуса r2 и h2 .

13πr2=12 13πr24∙h2=Vм

Преобразуем:

πr2=36 124πr2=Vм

Подставим:

124∙36=Vм

Vм=1,5

Ответ:1,5 - сложно

Способ 2.

Подсказка:

При изменении всех линейных размеров тела в k раз, объем этого тела изменяется в k3 раз.

k=2 k3=8 V=128=1,5

Ответ:1,5

Данный прием решения задач не требует знания формулы объема конуса.

6. Коническая воронка объемом 16 литров полностью заполнена жидкостью. Из воронки вычерпали часть жидкости, при этом ее уровень снизился до половины высоты воронки. Сколько литров жидкости вычерпали?

k=2 k3=8 V=168=2

Найдем сколько литров жидкости вычерпали:

16-2=14

Ответ:14

7.В сосуд в виде конуса налита жидкость до 14 высоты. Объем налитой жидкости равен 5. Сколько жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

46291579311500

k=4 k3=64 V=64∙5=320

Найдем сколько жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху:

320-5=315

Ответ:315

8. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 108. Чему будет равен объём параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в три раза?

k=3 k3=27 V=10827=4

Ответ: 4

9. Объём цилиндра равен 30. Чему равен объём конуса с таким же основанием и высотой?

Подсказка:

Если цилиндр и конус имеют общее основание и высоту, то Vk=13Vц

Vk=13∙30=10

Ответ:10

10. Объём конуса равен 25. Чему равен объём цилиндра с таким же основанием и высотой?

25=13Vц

Vц=75

Ответ:75

Тип 2

1. Четырехугольная пирамида весом 81 горизонтальными плоскостями разрезана на 3 части

одинаковой высоты. Найдите вес средней части пирамиды.

При решении данной задачи можно использовать подсказку из задачи №5 типа 1.

Найдем массу части пирамиды состоящей из двух частей ( верхняя и средняя ):

k=23 k3=827 m=81∙827=24

Найдем массу верхней части пирамиды

k=13 k3=127 m=81∙127=3

Найдем вес средней части пирамиды:

24-3=21

Ответ: 21

2.Найдите объем части куба

Для того чтобы найти объем части куба. Необходимо из объема всего куба вычесть объем призмы в основании которой лежит равнобедренный прямоугольный треугольник.

Vk=23=8

Vп=Sоснh=12∙1∙1∙1=0,5

Vч=8-0,5=7,5

Ответ: 7,5

3. Куб описан около цилиндра объемом 16 π. Найдите объем куба.

Так как цилиндр вписан в куб, то диаметр цилиндра и высота равны ребру куба.

Vk=a3

Для цилиндра h=a,r=a2 V=πa24∙a=14πa3

16π=14πa3 a3=64 Vk=64

Ответ: 64

4. Основанием прямой призмы является ромб с диагоналями 2 и 6. Найдите объем цилиндра, вписанного в эту призму, если объем призмы равен 3π.

Задача многоэтапная и требует знание не только формул объемов тел.

Vц=πr2h rц-? hц-?

1.hц =hп

hп=VпSосн

Sосн=12∙2∙6=6

hп=3π:6=12π

hц=12π

2.rц=12hосн

hосн=Sоснaосн , где aосн=10 по теореме Пифагора

hосн=610

rц=12∙610=310

3. Vц=π∙910∙12π=920=0,45

Ответ: 0,45

5. Объем раствора в гальванической ванне равен 3 куб. м, при этом уровень раствора достигает высоты 75 см. В ванну погрузили деталь, после чего уровень раствора поднялся на 2 см. Найдите объем детали (в куб. м).

За основу берется формула V=Sосн∙h

Объем раствора в гальванической ванне можно найти по формуле: 3=Sосн∙75

Объем детали погруженную в эту же ванную находим по этой же формуле: Vд=Sосн ∙2

Сделаем необходимые преобразования:

Из первой формулы Sосн=125 и подставим во вторую Vд=125∙2=225=0,08

Ответ: 0,08

6. В цилиндрический сосуд налили 3000 см3 воды. Уровень воды при этом достиг высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 3 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3

При решении данной задачи можно воспользоваться утверждением: Объем налитой воды в сосуд прямо пропорционален уровню ( высоте ) воды в данном сосуде, при условии, что Sосн величина постоянная.

3000 см3 – 20 см

х см3 - 3 см

х = (3000∙3):20

х = 450

Ответ:450

7. Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а его высоту уменьшили в 3,6 раза. Во сколько раз увеличится объем цилиндра?

Решение данной задачи сводится к работе с формулами.

Измерение первого цилиндра Измерения второго цилиндра

r и h 3r и 518h

V1=πr2h V2=π9r2518h

Найдем отношение V2V1=π9r2518hπr2h

V2V1=2,5

Ответ: 2,5

8.. Вершины многогранника являются центрами граней куба. Найдите объем куба, если объем многогранника равен 12.

Обозначим ребро куба через a.

Многогранник составлен из двух равных пирамид имеющих общее основание.

Vм=2∙Vп, то есть

Vм=2∙13Sосн∙hп, где hп=a2 , а Sосн=a22 , где сторона основания равна a2.

Подставим в формулу Vм=2∙13Sосн∙hп

12=2∙13∙a22∙a2

12=a36

a3=72

Так как Vk=a3, то Vk=72

Ответ: 72

9. В конус объемом 36 вписан шар. Найдите объем шара, если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником.

Использовать будем две формулы: Vш=43πr3 и Vk=13πr2h

Так как осевое сечение конуса является равносторонний треугольник со стороной a , то

rk=a2 , а hk=a32. Тогда rш=a36.

Подставим в формулу Vk и упростим:

36=13π∙a24∙a32

a3π3=864

Подставим в формулу Vш и упростим:

Vш=43π∙3a33216

Vш=a3π354

Исходя из того, что
a3π3=864

Vш=86454=16

Ответ:16

10. В правильную треугольную призму объемом 8134 вписан шар. Найдите радиус шара.

Выразим объем призмы, используя формулу: Vп=Sосн∙h, где Sосн=a234

Используем решение предыдущей задачи.

rш=a36

hп=2rш

hп=a33

Подставим в формулу объема призмы

8134=a234∙a33

a3=813

a=33

Теперь найдем rш:

rш=3336=32=1,5

Ответ: 1,5

Источники информации:

1. «Геометрия, 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др. М.: Просвещение.2010.

2.Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя /С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов.- 4-е изд., дораб.- М.: Просвещение. 2010.

3. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В11. Стереометрия: объемы и площади. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко.-М.: МЦНМО, 2012.

4. Тексты КДР 2010-2013 г . Автор составитель: Краснодарский краевой институт дополнительного профессионального педагогического образования.

5.2012 ФГБУ « Федеральный центр тестирования» WWW.RUSTEST.RU

ФГБНУ « Федеральный институт педагогических измерений» WWW.FIPI.RU