• Название:

    Вышая математика

  • Размер: 0.05 Мб
  • Формат: DOCX

1 Функция называется первообразной функции на некотором промежутке Х, если для любого функция дифференцируема и выполняется равенство:

2 Совокупность всех первообразных функций для функции на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается

, т.е. ,(2)

где – какая-нибудь первообразная функции на промежутке, который рассматривается; С – произвольная постоянная.

f(x)dx- под интегральное выражение

f(x)- под интегральная функция

х – переменная интегрирования

3) 1 Дифференциал от неопределенного интеграла равен под интегральному выражению

d(∫f(x)dx)=( ∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

2 Производная от неопределенного интеграла под интегральной функции

(∫f(x)dx)’=df(x)

(∫f(x)dx)’=F(x)+C=f(x)

(∫f(x)dx)’dx=(F(x)+C)=F’(x)dx=f(x)dx

3 Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции и константе

∫d(F(x))=F(x)+C

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx, где k-const

5.неопределеный интеграл от алгебраической сумме интегралов этих функции

∫(f1(x)±f1(x))dx=∫ f1(x)dx±∫ f1(x)dx

17731136634)

5) Пусть U и V дифференциальная функция тогда дифференциал функции d(U*V)=UdV+VdU от сюда следует :

∫d(U*V)= ∫UdV+∫VdU

Окончательно получается формула:

∫UdV=UV-∫VdU

6) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл.Сделаем подстановку , где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:


7)1) ∫R(sinx;cosx)-,где R-некоторое рациональная функция зависимая от sinx и от cosx

Подстановка tgx/2=t называется универсальной тригонометрической подстановкой

tgx2=t

dx=2dt1+t2

sinx=1t21+t2

cost=1-t21+t2

2) Частный случай интегрирования.

1)Если функция Rнечетная относительно sinx, отрываем один sin, а далее делаем подстановку cosx =t, -sinxdx=dt

2)Если функция R нечетная относительно cosx, аналогично отрыкаем один косинус и делаем подстановку

Sinx=t, cosxdx=dt

3)Если подинтегральная функция является четной относительно sinx и cosx то применяется подстановка

cos2x=1/1+t2 x=arctgt, dx=dt/1+t2

8)A)Ax-adx, где A∈R A x-adx=Alnx-a+C

B) A(x-a)mdx, где A∈R,m≥2 A(x-a)mdx=A(x-a)-mdx=A(x-a)-m+11-m+c=A1-mx-am-1+c

C) Ax+Bx2+px+qdx, где A,B,p,q∈R,p24-q<0

Ax+Bx2+px+qdx=x2+px+q=(x+p2)2+p24+q=x+p2=t=t2+a2=At-p2+Bt2+a2dt=At+B-Ap2t2+a2dt==Atdtt2+a2+B-Ap2×tdtt2+a2=A2lnt2+a2+B-Ap2×12aarctgta+C

D) Ax+B(x2+px+q)mdx, где A,B,p,q∈R,p24-q<0,m≥2

9)

10) Формула Ньютона- Лейбница

Пусть функция y=f(x) интеграл на отрезке [а;в]

Теорема: если функция y=f(x) не прерывна на отрезке [а;в] и F(x) какая либо её первообразная на отрезке [а;в] F’(x)=f(x) то имеет место формула

авfxdx=Fb-Fa

авfxdx=Fxba=Fb-Fa

13) Теория о среднем

c

a

b

y=f(x)

t(c)

Если функция y=f(x) не прерывна на отрезке [а;в] то существует такая т.С

Сϵ[а;в] такая,что :

abfxdx=fc*(b-a)

12)