• Название:

    Математика Лекция 2.4

  • Размер: 0.11 Мб
  • Формат: DOC
  • или



Неопределенный интеграл.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x((a;b) выполняется равенство F((x)=f(x).
Например, для функций
первообразной будет функция,
sin3x

Если для F(x) установлено равенство d F(x)=f(x)dx, то F(x) ( первообразная для f(x), так как .
Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x)+C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).
Доказательство.
(F+C)(=F(+C(=f+0= f
По определению F + C ( первообразная для f.
Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.
Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g((x)=0.
Доказательство.
Так как g(x)=C, справедливы равенства: g((x)=C(=0.
Если g((x)=0 при всех x((a;b), то g(x)=C на (a;b).
Доказательство.
Пусть g((x)=0 во всех точках (a;b).
Зафиксируем точку x1((a;b).
Тогда для любой точки x((a;b) по формуле Лагранжа имеем
g(x)–g(x1)=g((()(x–x1)
Так как (((x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g((()=0, откуда следует, что g(x)–g(x1)=0, то есть g(x)=g(x1)=const.
Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G=F+C, где C – число.
Доказательство.
Возьмем производную от разности G–F: (G–F)(=G(–F(==f–f=0. Отсюда следует: G–F=C, где C ( число, то есть G=F+C.
Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается (f(x)dx. f(x)dx ( подинтегральное выражение, f(x) ( подинтегральная функция.
Если F(x) – первообразная для f(x), то (f(x)dx=F(x)+C, где C – произвольное число.
Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F((x)=f(x) соответствует формула (f(x)dx=F(x)+C интегрального исчисления.
Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

1) (dx=x+C;
7) (cosxdx=sinx+C;

2) (xndx = +C, (n ( –1);
8) ;

3) ;
9) ;

4) (exdx = ex+C;
10)

5) (axdx = +C;
11)

6) (sinx dx = -cosx + C; Т.е. взяли таблицу производных, прочитали её задом наперёд и получили таблицу интегралов.
По постановке задачи

Дифференцирование
Интегрирование Задана функция f (x).
Требуется найти производную f((x).

Задана функция F(x) , являющаяся производной функции f (x).
Требуется найти функцию f(x). Итак, интегрирование — это операция обратная дифференцированию.
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1) ( (f(x) dx )(=f(x);
4) (d f(x)=f(x)+C ;

2) (f( (x) dx= f(x)+C ;
5) (kf(x)dx=k(f(x) dx;

3) d (f(x) dx= f(x)dx;
6) ( (f(x)+g(x))dx=(f(x) dx+(g(x) dx ;

Если (f(x) dx=F(x)+C, то (f(ax+b) dx=
(a ( 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

Методы интегрирования
Первый — используя свойства интеграла и таблицу.
Второй — метод разложения, суть которого в преобразовании подинтегральной функции.
Третий — замена переменной.
Если функция f(x) непрерывна, а функция ((t) имеет непрерывную производную (((t), то имеет место формула
(f(((t))(((t)dt =(f(x) dx, где x = ((t).
Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.
Примеры.
3.1.I = (cos(t3)t2dt. Пусть t3=x, тогда dx=3t2dt или t2dt=dx/3.
.
3.2.. Пусть ln t=x, тогда dx=dt/t.

3.3. . Пусть x=cos t, тогда dx=-sintdt, и
.
3.4. . Пусть x=sint, тогда dx=cos dt, и
.
Количественные методы в экономике4

Конспект лекций3