• Название:

    Пр 8 Дифф слож ф (48 50)

  • Размер: 0.18 Мб
  • Формат: DOC
  • или



Практическое занятие № 8
Дифференцирование сложной функции

1. Цель: Выработать навыки и умения по вычислению производных сложных функций
2. Пояснения к работе:
2.1 Краткие теоретические сведения

2.1.1 Понятие производной функции
Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Производной функции ƒ (x) в точке x0 называется отношение приращения функции ∆ƒ (x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ’(x0).
(1)
Производную функции y = ƒ (x), x є ( a;b ) в точке x обозначают ƒ’(x), y’(x), , , причём все эти обозначения равноправны. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную ƒ’(x) можно рассматривать как функцию на (a ;b).

2.1.2 Таблица производных элементарных функций



2.1.3 Правила дифференцирования
На практике применяют следующие правила дифференцирования
1.
2. ,
48
3. , ; 4. ,
где u и υ обозначают дифференцируемые функции переменной x, C - константа.

2.1.4 Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть дана сложная функция , где.
Если функция дифференцируема в некоторой точке х0, а функция определена на множестве значений функции и дифференцируема в точке , то сложная функция в данной точке х0 имеет производную, которая находится по формуле
или

Пример. Вычислить , если .
Решение:
.

Пример. Вычислить , если
Решение:

Пример.
Вычислить , если

Решение:
1) ;
2) данная функция является суперпозицией трех функций, поэтому имеем

3. Задание

Вариант 1
1. Вычислить производные следующих функций:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5); 6) ;
2. Вычислить , если ;
3. Вычислить , если .
49
Вариант 2
1. Вычислить производные следующих функций:
1) ; 2) ; 3) ;
4) 5) ; 6) ;
2. Вычислить , если ;
3. Найти , если .
Вариант 3
1. Вычислить производные следующих функций:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
2. Вычислить ), если ;
3. Найти , если .
Вариант 4
1. Вычислить производные следующих функций:
1) ; 2) ; 3);
4) 5) ; 6) ;

2. Вычислить , если ;
3. Найти , если .
4. Контрольные вопросы:
1. Что называется производной функции в точке?
2. Что такое дифференцирование?
3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
4. Перечислите табличные производные.
5. Какие правила дифференцирования вы знаете?

5. Содержание отчёта:
5.1 Наименование работы
5.2 Цель работы
5.3 Задание
5.4 Формулы для расчета
5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов
5.6 Выводы по работе
5.7 Ответы на контрольные вопросы
6. Литература:
1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, ч.1 , с.419-452;
2. Подольский В. А. Сборник задач по математике:

Учебное пособие - М. Высшая школа, 2003, с.194-207;
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике - Учебное пособие – М.:

Высш. школа, 2003, с.94-104.
50