• Название:

    Пр 5 Кривые (32 36)

  • Размер: 0.17 Мб
  • Формат: DOC
  • или



Практическое занятие № 5
Решение задач на кривые второго порядка

1. Цель:

Закрепить навыки решения задач на кривые второго порядка: эллипс, гиперболу и параболу
2.Пояснения к работе:
2.1 Краткие теоретические сведения:

2.1.1 Эллипс
Эллипс есть множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (равная 2а), большая, чем расстояние между фокусами (равное 2с).
Простейшее уравнение эллипса получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось Оx принять прямую, проходящую через фокусы F1 и F2, а за ось Оy – перпендикуляр к оси абсцисс в середине отрезка [F1 F2]. Тогда уравнение эллипса примет вид
, где b2 = а2 – с2 (1)
Точки А и В, С и D пересечения эллипса с его осями симметрии (координатными осями) называются вершинами эллипса.
Отрезки [AВ] – большой осью, а [СD] – малой осью, так как а > b.
Таким образом, параметры a и b, входящие в уравнение эллипса, равны его полуосям.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т.е.
(2)
Очевидно, что е < 1.
Если эллипс, определяемый уравнением вида (1), расположен так, что его фокусы лежат на оси Оу, то тогда b> a и большой осью служит отрезок [B1 B2] длиной 2b, а малой осью – отрезок [A1 A2] длиной 2а. Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле
, где (3)
Пример 1. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса 9х2 + 25у2 – 225 = 0.
Решение:

Приведём данное уравнение к простейшему виду (1), для чего свободный член перенесём вправо и разделим на него все члены уравнения.
В результате получим
или
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), имеем а = 5, b = 3. Отсюда находим оси эллипса 2а =10, 2b=6 и координаты вершин А1( -5;

0), А2(5;

0), В1(0;

-3), В2(0;

3).
Далее, находим .
32
Следовательно, фокусами эллипса служат точки F1 (-4;

0) и F2 (4;

0).
Эксцентриситет эллипса вычисляем по формуле (2): е= .

2. 1.2 Гипербола

Гиперболой называется множество точек, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2с).
Простейшее уравнение гиперболы получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось ОХ принять прямую, проходящую через фокусы F1 и F2, за ось ОУ – перпендикуляр в середине отрезка [F1 F2]

Тогда уравнение гиперболы примет вид
, где b2 = c2 – a2 (4)
Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А1 и А2, называемых вершинами гиперболы.
Отрезок [А1 А2] длиной 2а называется действительной осью гиперболы, а отрезок [B1 B2] длиной 2b – мнимой осью гиперболы.
Таким образом, параметры a и b, входящие в уравнение гиперболы, равны её полуосям.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к её действительной оси:
(5)
Очевидно, что е > 1.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
и (6) Если мнимая ось гиперболы направлена по оси ОХ и имеет длину 2а, а действительная ось длиной 2b направлена по оси ОУ, то уравнение гиперболы имеет вид
(7) Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле
33
(8)
Её асимптоты те же, что и у гиперболы (4). Гиперболы (4) и (7) называются сопряжёнными.
Гипербола называется равносторонней, если её действительная и мнимая оси равны, т.е.
а = b.
Простейшие уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

х2 – у2 = а2 (9)
Пример 2. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы
16х2 – 9у2 – 144 = 0.
Решение:

Перенесём свободный член вправо и разделим на него все члены данного уравнения.
В результате получим простейшее уравнение гиперболы
, или
Сравнивая это уравнение с уравнением (4), имеем а = 3, b = 4. Таким образом, действительная ось гиперболы 2а = 6, а мнимая ось 2b = 8; координаты вершин А1 ( –3;

0) и А2 (3;

0).
Далее, , следовательно, фокусами гиперболы служат точки F1( –5;

0) и
F2(5;

0).
Эксцентриситет гиперболы вычисляем по формуле (5): е = с/а = 5/3. Наконец, подставляя значения а = 3, b = 4 в формулы (6), получим уравнения асимптот гиперболы и .

2.1.3 Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.
Величина p, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы.
Прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно её директрисе, называется осью, а точка пересечения параболы с её осью – вершиной параболы.
Простейшее уравнение параболы получается, если координатная система расположена следующим образом: за одну из координатных осей берётся ось параболы, а за другую – прямая, перпендикулярная оси параболы и проведённая посредине между фокусом и директрисой.
Тогда уравнение параболы примет вид: (10) (11)

(12) (13)
34
Уравнение у = ах2 + bх + с ( а ≠ 0) (14)
определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси абсцисс. Аналогично, уравнение

х = my2 + ny + p (m ≠ 0) (15)
определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат.
Уравнения (14) и (15) приводятся к простейшему виду (10) – (13) путём тождественных преобразований с последующим переносом координатной системы.

Пример 3. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке F (0; – 8).
Решение:

Фокус параболы лежит на оси ординат, а вершина – в начале координат, поэтому уравнение параболы можно записать либо в виде х2 = 2ру, либо в виде х2 =– 2ру. Далее, поскольку ордината фокуса отрицательна, уравнение параболы следует искать в виде х2= – 2ру.
Из координаты фокуса параболы имеем р / 2 = 8, откуда p=16 и 2р = 32, и окончательно получаем х2 = – 32у.

3. Задание
Вариант 1
1. Составить уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты (0;

3) и
(6;

-7);
2.Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси OX, если расстояние между фокусами равно 20, а эксцентриситет ;
3.Дана гипербола.
Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты этой гиперболы;
4.Парабола задана уравнением = 14x.
Указать координаты фокуса параболы и уравнение её директрисы;
5. Составить уравнение окружности, центр которой лежит в фокусе параболы , а радиус равен действительной оси эллипса ;
Вариант 2
1. Составить уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты (-2;

3) и
(2;

5);
2.Уравнение эллипса.
Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса;
3.Дана гипербола.
Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет асимптоты этой гиперболы;
4. Парабола задана уравнением = -5x.
Указать координаты фокуса параболы и уравнение её директрисы;
5. Составить уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат, а фокус совпадает с центром окружности;
Вариант 3
1. Составьте уравнение окружности с центром в точке (-1;

4) и проходящей через точку (3;

5);
2.Уравнение эллипса.
Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса.
35
3.Составить уравнение гиперболы, если длина её действительной оси равна 12, а эксцентриситет равен.
Найти её фокусное расстояние и асимптоты;
4. Парабола задана уравнением y2 = 6x.
Указать координаты фокуса параболы и
уравнение её директрисы;
5. Составить уравнение окружности с центром в точке (-3;

8), диаметр которой равен фокусному расстоянию эллипса ;
Вариант 4
1. Составьте уравнение окружности с центром в точке (-3;

04) и проходящей через точку (2;

4);

2.Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси OX, если расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет .
3. Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы .
4. Парабола задана уравнением y2 = -4x.
Указать координаты фокуса параболы и
уравнение её директрисы;
5. Составит уравнение гиперболы, фокусы которой совпадают с фокусами эллипса ,
а эксцентриситет равен .
4. Контрольные вопросы:
Дайте определение эллипса и назовите его каноническое уравнение.
Что такое большая и малая полуоси эллипса, его фокусы, вершины? Укажите их координаты.
2. Что такое эксцентриситет эллипса, какой он по значению, что он характеризует?
Дайте определение гиперболы и назовите ее каноническое уравнение.
Что такое действительная
и мнимая полуоси гиперболы, асимптоты, фокусы, вершины? Укажите их координаты.
Что такое эксцентриситет гиперболы, какой он по значению ?
Дайте определение параболы .
Укажите каноническое уравнение параболы в зависимости от ее расположения на координатной
плоскости.
Что такое параметр параболы, фокус и директриса параболы?
5. Содержание отчёта:
5.1 Наименование работы
5.2 Цель работы
5.3 Задание
5.4 Формулы для расчета
5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов
5.6 Выводы по работе
5.7 Ответы на контрольные вопросы
6. Литература:
1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, ч.2 , с.88-104;
2.Подольский В. А. Сборник задач по математике:

Учебное пособие - М. Высшая школа, 2003, с.43-59;
3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов – учебник для вузов – М.:

Юнити, 2003 г, с.104-115;
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике - Учебное пособие – М.:

Высш. школа, 2003, с. 304-318.
36