• Название:

    Листок 9

  • Размер: 0.09 Мб
  • Формат: DOC
  • или



Листок 9.Повторение.
9.1. Докажите тождество:

1.1! + 2.2! +...+n.n! = (n+ 1)! – 1.
9.2. Докажите тождество:

1 + 3 + 5 +...+ (2n– 1) =n2.
9.3. Докажите неравенство:

2n>n.
9.4. Известно, чтоx+1/xцелое число.
Докажите, чтоxn+ 1/(xn)- также целое при любом целомn.9.5. Докажите тождество:

12+ 22+...+n2=n(n+ 1)(2n+ 1)/6.
9.6. Докажите тождество:

12+ 32+...+ (2n- 1)2=n(2n- 1)(2n+ 1)/3.9.7. Докажите неравенство для натуральных n:(n> 1).9.8. Докажите неравенство для натуральных n:при любомx> - 1.(Кто вспомнит как называется это неравенство получит конфету и похвалу)
9.9. Докажите, что число, составленное из 3nодинаковых цифр, делится на 3n.
9.10. Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв.
Все составили разное число слов: больше всех - Аня, меньше всех - Вася.
Затем ребята просуммировали очки за свои слова.
Если слово есть у двух игроков, за него даётся 1 очко, у одного игрока - 2 очка, слова, общие у всех трёх игроков, вычёркиваются Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех - Аня?
9.11. Среди математиков каждый седьмой— философ, а среди философов каждый девятый— математик.
Кого больше: философов или математиков?
9.12. Члены Государственной Думы образовали фракции так, что для любых двух фракций Aи B(не обязательно различных)– тоже фракция (черезобозначается множество всех членов Думы, не входящих в C).
Докажите, что для любых двух фракций Aи BAB– также фракция.
9.13. В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов.
Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов.
При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей.
Сколько розовых кустов остались не политыми?
9.14. Пол комнаты площадью 6 м2покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна 3 м2. Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей 1 м2.
9.15. Докажите справедливость формулы:
(x+y)n=Cn0xn+Cn1xn - 1y+Cn2xn - 2y2+...+Cnnyn.
Числаназываются биномиальными коэффициентами, поскольку они возникают при возведении в степень биномаx+y.

Фамилия Имя:_________________________________________________________________
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15