• Название:

    Математическое ожидание дискретной случайной ве...

  • Размер: 0.19 Мб
  • Формат: DOC
  • или



Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Пусть задан закон распределения случайной величины (.
(
х1
х2
х3
(
хn

P
p1
p2
p3
(
pn

Математическое ожидание М( (или М(()) случайной величины ( определяется формулой

Рассмотрим пример.
Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней).
Эти данные собраны в таблицу:
Количество проданных холодильников
0
1
2
3
4
5

Число дней, в которые было продано столько холодильников
3
7
8
9
2
1

По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц:

0(3+1(7+2(8+3(9+4(2+5(1=63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей
, каждая из которых представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж.
Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников:

Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж.
Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение.
Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию.
Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю.
Пример.
Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения
(
1
0

Р
p
q

Здесь p+q=1,
M(=1(р+0(q=р
Свойства математического ожидания.
Если случайная величина ( принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть ((С, то её математическое ожидание равно С.
Если М(=а, и k –константа, то М(k()=kа (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).
Если М(=а, и k –константа, то М(k+()=k+а (математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины).
Выведем формулу для математического ожидания суммы двух случайных величин ( и (, определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов и заданных законами распределения
(
х1
(
xn

(
y1
(
yk

Р

( Р

( М((+() = (х1+у1)Р(((=х1)(((=у1))+(х2+у1)Р(((=х2)(((=у1))+(+(хi+уj)Р(((=хi)(((=уj))+(+(хn+уk)Р(((=хn)(((=уk))
Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk слагаемых.
Преобразуем эту сумму следующим образом:
М((+() = х1 Р(((=х1)(((=у1))+х1 Р(((=х1)(((=у2))+(+х1 Р(((=х1)(((=уk))+ +х2 Р(((=х2)(((=у1))+х2 Р(((=х2)(((=у2))+(+х2 Р(((=х2)(((=уk))+(
+хn Р(((=хn)(((=у1))+хn Р(((=хn)(((=у2))+(+хn Р(((=хn)(((=уk))+
+у1 Р(((=х1)(((=у1))+у1 Р(((=х2)(((=у1))+(+у1 Р(((=хn)(((=у1))+
+у2 Р(((=х1)(((=у2))+у2 Р(((=х2)(((=у2))+(+у2 Р(((=хn)(((=у2))+(
+уk Р(((=х1)(((=уk))+уk Р(((=х2)(((=уk))+(+уk Р(((=хn)(((=уk))=
=х1(Р(((=х1)(((=у1))+Р(((=х1)(((=у2))+(+Р(((=х1)(((=уk)))+
+х2(Р(((=х2)(((=у1))+Р(((=х2)(((=у2))+(+Р(((=х2)(((=уk)))+(+
+хn(Р(((=хn)(((=у1))+Р(((=хn)(((=у2))+(+Р(((=хn)(((=уk)))+
+у1(Р(((=х1)(((=у1))+Р(((=х2)(((=у1))+(+Р(((=хn)(((=у1)))+
+у2(Р(((=х1)(((=у2))+Р(((=х2)(((=у2))+(+Р(((=хn)(((=у2)))+(
+уk(Р(((=х1)(((=уk))+Р(((=х2)(((=уk))+(+Р(((=хn)(((=уk)))=
=х1 Р((=х1)+х2 Р((=х2)+(+хn Р((=хn)+
+у1 Р((=у1)+у2 Р((=у2)+(+у1 Р((=у1)=M(+M(
При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например, событие (=х1 можно представить в виде объединения несовместных событий ((=х1)(((=у1), ((=х1)(((=у2), (, ((=х1)(((=уn).
Пример.
Заданы n одинаково распределённых случайных величин (1, (2, (, (n с законом распределения
Таблица 1
(i
1
0 P
p
q

Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.
Решение.
M()==np

Если случайные величины ( и ( независимы, то
М((()=М((М(
Доказательство.
Если заданы законы распределения двух независимых случайных величин ( и (
(
х1
(
xi
(
xn

(
y1
(
yj
(
yk

Р

(

( Р

(

( то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом:
М((()==
=х1+х2+(+хi(+хn=
=х1 M(+х2 M(+(+хi M((+хn M(=M(=М((М(
Дисперсия случайной величины.
Дисперсия D( случайной величины ( определяется формулой
D(=M((–M()2.
Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Рассмотрим случайную величину ( с законом распределения
(
1
2
3

Р

Вычислим её математическое ожидание.
M(=1(+2(+3(=
Составим закон распределения случайной величины (–M(
(– M(

Р

а затем закон распределения случайной величины ((–M()2
((– M()2

Р

Теперь можно рассчитать величину D(:
D(=(+(+(=
Формулу вычисления дисперсии дискретной случайной величины можно представить в таком виде:
D(=
Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:
D(=
=
=M(2–M2(
Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.

Пример.
Найти дисперсию случайной величины, с законом распределения, заданным таблицей 1.Выше было показано, что M( = р.
Легко видеть, что M(2 = р.
Таким образом, получается, что D( = р – р2 = pq.
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания.
Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию.
Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.
Дисперсия случайной величины равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа (то есть при всех исходах случайного эксперимента принимает одно и то же значение).
Свойства дисперсии.
Если с – число, то D((+с)=D(()
Если k – число, то D(k() = k2 D(.
Доказательство.
D(k() = M(k( – M(k())2 = M(k( – k M()2 = M(k2 (( – M()2) = k2 M(( – M()2 =
= k2 D(
Для попарно независимых случайных величин (1, (2,(, (n справедливо равенство

Это свойство оставим без доказательства.
Из этого свойства, в частности, следует, что дисперсия суммы n независимых случайных величин (i с законом распределения, заданным таблицей 1, равна npq.
Теперь можно сделать важный вывод.
Пусть проводится п повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р.
Число k появлений события А можно рассматривать как случайную величину.
Обозначим эту случайную величину (. Как уже говорилось ранее, эта случайная величина называется бернуллиевской случайной величиной.
Несложно понять, что имеет место равенство:(=. Отсюда следует, что математическое ожидание бернуллиевской случайной величины равно пр, а её дисперсия равна пр(1–р).
Если случайные величины (i и (j зависимы, то дисперсия суммы этих случайных величин не равна сумме их дисперсий.
Этот случай разобран в последующих лекциях.
Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.
Пусть ( и ( – независимые случайные величины с заданными законами распределения:
(
0
1

(
1
2

Р
0,25
0,75

Р
0,7
0,3

Показать, что D(( + () = D( + D(.
Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины.
Как видно, среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Задача I. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке.
Случайная величина ( – число карт между тузом и королём.
Найти величины M( и D(.
Задача II.
В урне 2 белых, 2 чёрных и 1 зелёный шар.
Из урны наудачу извлекаются 3 шара.
Случайная величина ( – число белых шаров в выборке.
Случайная величина ( принимает значение 0, если в выборке есть зелёный шар, и принимает значение 1, если в выборке нет зелёного шара.
Найти величины M( и D(. Проверить выполнение равенства М(( + ()=М(+М( и неравенств D(( + ()(D(+D(, М(((М( М(
Задача III.
По прогнозу акции корпорации С1 поднимутся в цене с вероятностью 0,7. Независимо от них акции корпорации С2 поднимутся в цене с вероятностью 0,5. Случайная величина ( примет значение 0, если ни одна из акций С1 и С2 не поднимется в цене, значение 1, если только одна из этих акций поднимется в цене, и значение 2, если в цене поднимутся обе акции.
Случайная величина ( примет значение 0, если акция С1 не поднимется в цене и значение 1, если эта акция поднимется в цене.
Найти величины M( и D(. Проверить справедливость неравенства D(( + ()(D(+D(.
Задача IV. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке.
Случайная величина ( – число карт между тузом и королём.
Случайная величина ( принимает значение 0, если туз оказался перед королём, и значение 1, если туз лежит после короля.
Найти величины M( и D(. Проверить справедливость равенств D(( + ()=D(+D(, М((=М( М(

Ответы.
I 2/3, 5/9; II 1,2, 0,36, законы распределения случайных величин (+( и (( имеют вид
(+(
0
1
2
3

((
0
1
2

Р
0,1
0,4
0,3
0,2

Р
0,6
0,2
0,2

III 1,2, 0,46; IV 2/3, 5,9

Тема 9 6

HYPER13 PAGE HYPER15