• Название:

    Protsenti teoriaya

  • Размер: 0.17 Мб
  • Формат: DOC
  • или



Тема 1. Методология финансово-экономических расчетов.

1.1. Простые проценты
1.1.1. Проценты и процентные ставки.
Под процентными деньгами или, кратко, процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, помещении денег на сберегательный счет, учет векселя и т.д.
При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды.
Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления.
Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга.
Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.
В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов.
Соответственно применяют различные виды процентных ставок.
Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов.
Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами.
В первом случае они называются простыми, а во втором - сложными процентными ставками.
Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными или переменными (плавающими). В этом случае значение ставки может быть равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней (маржи).
1.1.2. Формула наращения по простым процентам.
Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
Пусть P первоначальная сумма денег, i - ставка простых процентов.
Начисленные проценты за один период равны Pi, а за n периодов – Pni.
Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины
P, P+Pi=P(1+i), P(1+i)+Pi=P(1+2i) и т.д. до P(1+ni).
Первый член этой прогрессии равен P, разность Pi, а последний член определяемый как
S=P(1+ni)(1.1.1)
и является наращенной суммой.
Формула (1.1.1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов.
Множитель (1+ni) является множителем наращения.
Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.
Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы P и суммы процентов I
S=P+I, (1.1.2)
где
I=Pni.(1.1.3)
Пример 1.1. Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 15% годовых.
Решение по формулам (1.1.2) и (1.1.3) находим
I=100000 *1,5 *0,15=22500 руб. - проценты за 1,5 года
S=100000+22500=122500 руб. - наращенная сумма.
1.1.3. Практика начисления простых процентов.
Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить какая часть процента уплачивается кредитору.
Для этого величину n выражают в виде дроби
n=t/K, (1.1.4)
где
n - срок ссуды (измеренный в долях года),
K - число дней в году (временная база),
t - срок операции (ссуды) в днях.

Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы K и способом измерения срока пользования ссудой.
Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом).
В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный или коммерческий процент.
В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году:

365 или 366.
Определение числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным.
В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней.
В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.
Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемые в практике:
а) точные проценты с точным числом дней ссуды ;
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды ;
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды .
Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.
Пример 1.2. Ссуда, размером 100000 руб., выдана 21 января 2002 г. до 3 марта 2002 г. при ставке простых процентов, равной 20 % годовых.
Найти:
а) точные проценты с точным числом дней ссуды ;
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды ;
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды .
Решение.
Используем формулы (1.1.3) и (1.1.4)
n=t/K ; I=Pni = Pit / K ;
а) K= 365 , t = 41, I = 1 000 000 *0.2*41 / 365 = 22465,75 руб
б) K= 360 , t = 41, I = 1 000 000 *0.2*41 / 360 = 22777,78 руб
в) K= 360 , t = 42, I = 1 000 000 *0.2*42 / 360 = 23333,33 руб

1.1.4. Простые переменные ставки. В ряде случаев процентные ставки не остаются неизменными во времени.
Поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки.
В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид
S = P*(1+n1i1+n2i2+...) = P(1+(ntit),(1.1.5)
где P - первоначальная сумма (ссуда),
it - ставка простых процентов в периоде с номером t,
nt - продолжительность периода начисления по ставке it.

Пример 1.3. Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий квартал на 1% меньше, чем в предыдущий.
Определим множитель наращения за весь срок договора

1+(ntit = 1+0,25*0,10+0,25*0,09+0,25*0,08+0,25*0,07 =1,085.

1.1.5. Дисконтирование и учет по простым ставкам.
В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму P. Расчет P по S называется дисконтированием суммы S. Величину P, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Проценты в виде разности D=S-P называются дисконтом или скидкой.
Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.
Математическое дисконтирование.
Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды.
Если в прямой задаче S=P(1+ni),то в обратной
.(1.1.6)
Дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем.
Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга.
Дисконт суммы S равен
D=S-P.(1.1.7)
Пример 1.4. Через 90 дней после подписания договора, должник уплатит 1000000 рублей.
Кредит выдан под 20 % годовых (проценты обыкновенные).
Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение. Используем формулы (1.1.6) и (1.1.7)
P=S / (1 + ni) = 1000000 / (1+0.20*90/360) = 952380,95 руб
D=S – P = 1000000 - 952380,95 =47619,05 руб

Банковский или коммерческий учет.
Операция учета (учета векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.
Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую мы обозначим символом d.
По определению, простая годовая учетная ставка находится как
.(1.1.8)
Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен
D=Snd, (1.1.9)
откуда
P=S-D=S-Snd=S(1-nd).(1.1.10)
Множитель (1-nd) называется дисконтным множителем. Срок n измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах.
Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.
Пример 1.5. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 1000000 рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом.
Банк учел вексель по учетной ставке 20 % годовых (год равен 360 дням).
Определить полученную предприятием сумму и дисконт?
Решение. Используем формулы (1.1.9) и (1.1.10)
D=Snd = 1 000 000*0.2*90/360 =50 000 руб
P=S - D = 1 000 000 – 50 000 = 950 000 руб 1.2. Сложные проценты
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.
Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

1.2.1. Формула наращения по сложным процентам.
Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет - P(1+i)n.
Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
S=P(1+i)n, (1.2.1)
где S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов, n - срок ссуды, (1+i)n - множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).
Пример 1.6. В кредитном договоре, на сумму 1000000 руб и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение. Используем формулы (1.2.1)
S = 1 000 000*(1+0.2)4 = 2073600 руб

1.2.2. Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени.
Если ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид
(1.2.2)
где i1, i2,..., ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.
Пример 1.7. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год.
Определить величину множителя наращения за 4 года.
Решение.
(1+0,3)2*(1+0,28)*(1+0,25)=2,704

1.2.3. Номинальная и эффективная ставки процентов.
Номинальная ставка.
Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m.
При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами.
Каждый раз проценты начисляют по ставке j/m.
Ставка j называется номинальной.
Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

S=P(1+j/m)N, (1.2.3)

где N - число периодов начисления (N=mn, может быть и дробное число).
Пример 1.8. Ссуда 20 000 000 руб. предоставлена на 28 месяцев.
Проценты сложные, ставка - 60% годовых.
Проценты начисляются ежеквартально.
Вычислить наращенную сумму.
Решение.
Начисление процентов ежеквартальное.
Всего имеется N = (28/3) кварталов.
Число периодов начисления в году m = 4. По формуле (1.2.3) находим
S = 20 000 000* ( 1+ 0.60 / 4 ) (28/3) = 73 712 844,81. руб.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+iэ)n=(1+j/m)mn,(1.2.4)
где iэ - эффективная ставка, а j - номинальная.
Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
iэ=(1+j/m)m-1.(1.2.5)

Обратная зависимость имеет вид
j=m[(1+iэ)1/m-1].(1.2.6)

Пример 1.9. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.
Решение.
По формуле (1.2.5) находим
iэ=(1+0,1/4) 4 – 1 = 0,1038, т.е. 10,38%.

Пример 1.10. Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.
Решение.
По формуле (1.2.6) находим
j=4*[ (1+0,12) (1/4) – 1 ]=0,11495, т.е. 11,495%.

1.2.4.Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов
Математический учет.
В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам.
Запишем исходную формулу для наращения
S=P(1+i)n
и решим ее относительно P
,(1.2.7)
где (1.2.8)
учетный или дисконтный множитель.
Пример 1.11. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1000 000 руб.
Определить ее современную стоимость, при условии, что применяется ставка сложных процентов 10 % годовых.
Решение.
По формуле (1.2.7) находим
Р = 1 000 000*(1+0,10) (-5)= 620 921,32 руб.

Если проценты начисляются m раз в году, то получим
, (1.2.9)
где
(1.2.10)

дисконтный множитель.
Величину P, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент.
Разность D=S-P называют дисконтом.

Банковский учет.
В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки.
Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P=S(1-dсл)n,(1.2.11)

гдеdсл - сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае равен

D=S-P=S-S(1-dсл)n=S[1-(1-dсл)n].(1.2.12)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Пример 1.12. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 1 000 000 руб.
Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10 % годовых.
Определить дисконт.
Решение.
По формуле (1.2.11) находим
Р = 1 000 000*(1 - 0,10) 5= 590 490,00 руб.
D = S – P = 1 000 000 – 590 490 = 409 510 руб.

1.3. Потоки платежей
Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени.
Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.
Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей.
Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина.
Каждая из этих характеристик является числом.
Наращенная сумма потока платежей это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей.
Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности.
Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

1.3.1. Финансовые ренты и их классификация.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты - величина каждого отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.
Виды финансовых рент.
Классификация рент может быть произведена по различным признакам.
В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году.
По числу начислений процентов различают ренты с начислением один раз в году, m раз или непрерывно.
Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.
По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты.
Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.
По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные.
Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита.
Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события.
Поэтому число ее членов заранее неизвестно.
Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные.
В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные.
Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.
Ренты различают по моменту выплаты платежей.
Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо.
Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо.
Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

1.3.2. Формулы наращенной суммы. Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i.
В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i)n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года.
Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д.
На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии
S=R+R(1+i)+R(1+i)2+. . . + R(1+i)n-1,
в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n.
Эта сумма равна
,(1.3.1)
где
(1.3.2)
называется коэффициентом наращения ренты.
Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i.
Пример 1.13. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение.
По формуле (1.3.1) находим
S = 10*[(1+0,1) 3 – 1] / 0,1 = 33.100 млн. руб.
Годовая рента, начисление процентов m раз в году.
Посмотрим как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году.
Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов.
Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
R(1+j/m)m(n-1), R(1+j/m)m(n-2), . . . , R.
Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m)m, а число членов n.
Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты.
Она равна
.(1.3.3)
Пример 1.14. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально (m=4) начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение.
По формуле (1.3.3) находим

S = 10*[(1+0,1/4)(3*4) – 1] / [(1+0,1/4) 4 – 1] = 33.222 млн. руб.

Рента p-срочная, m=1. Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается p раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.
Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p.
Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,
,
у которой первый член R/p, знаменатель (1+i)1/p, общее число членов np.
Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии
,(1.3.4)
где
(1.3.5)
коэффициент наращения p-срочной ренты при m=1.
Пример 1.15. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год ( т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал) , на которые в конце года начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых.
Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение.
По формуле (1.3.4) находим

S = (10/4)*[(1+0,1) 3 – 1] / [(1+0,1) (1/4 )– 1] = 34.317 млн. руб.

Рента p-срочная, p=m.
В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени.
Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p=m.
Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
.
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год.
Таким образом получаем
.(1.3.6)
Пример 1.16. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год ( т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал) , на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых.
Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение.
По формуле (1.3.6) находим

S = 10*[(1+0,1/4) (3*4) – 1] / 0,1 = 34.489 млн. руб.

Рента p-срочная, p(1, m(1. Это самый общий случай p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно p(m.
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/p года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
.
Второй член ренты к концу срока возрастет до

и т.д.
Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов nm.
В результате получаем наращенную сумму
.(1.3.7)
Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения p и m.
Пример 1.17. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (p=4) равными долями из расчета 10 млн. руб. в год ( т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал) , на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых.
Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение.
По формуле (1.3.7) находим
S = (10/4)*[(1+0,10/4) (3*4)–1]/[(1+0,10/4)(12/4 )–1]=34.5296 млн. руб.

1.3.3. Формулы современной величины.
Обычная годовая рента.
Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка i, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n.
Тогда дисконтированная величина первого платежа равна
,
где
- дисконтный множитель.
Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rv2 и т.д.
В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rv, Rv2, Rv3, ..., Rvn, сумма которой равна
,(1.3.8)
где
(1.3.9)
- коэффициент приведения ренты.
Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i.
Пример 1.18. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб.
Ежегодное дисконтирование производится по сложной процентной ставке 10% годовых.
Определить современную стоимость ренты..
Решение.
По формуле (1.3.8) находим
А = 10 * [1- (1+0.1)(-3)]/0.1 =24.868 млн. руб

Рента p-срочная, p(1, m(1. Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений p и m
,(1.3.10)
от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных p и m.
1 HYPER13 PAGE 24