Методическте материалы по проверке ЕГЭ по профильной математике_2020

Формат документа: doc
Размер документа: 11.03 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
___________________________________________________________________
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ



Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации
по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2020 года







МАТЕМАТИКА



















Москва
2020Руководитель комиссии по разработке контрольных измерительных материалов, используемых при проведении государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего и среднего общего образования по математике И.В.Ященко, в.н.с. Федерального государственного бюджетного научного учреждения Федеральный институт педагогических измерений.
Авторы: И.Р.Высоцкий, О.Н.Косухин, А.В.Семенов, А.С.Трепалин, М.А. Черняева.



Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2020 г. по математике подготовлены в соответствии сТематическим планом работ Федерального государственного бюджетного научного учреждения Федеральный институт педагогических измерений. Пособие предназначено для подготовки экспертов по оцениванию выполнения заданий с развернутым ответом, которые являются частью контрольных измерительных материалов (КИМ) для сдачи единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике профильного уровня.
В методических материалах характеризуются типы заданий сразвернутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике, и критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку.

В пособии использованы работы участников ЕГЭ 2016–2019 гг.

Авторы будут благодарны за замечания и предложения по совершенствованию пособия.















И.В. Ященко, И.Р.Высоцкий, О.Н.Косухин, А.В.Семенов, А.С.Трепалин, М.А.Черняева, 2020
Федеральный институт педагогических измерений,2020


СОДЕРЖАНИЕ

HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc32338924" HYPER14ВВЕДЕНИЕHYPER13 PAGEREF _Toc32338924 \h HYPER144HYPER15
1. Критерии проверки и оценка решений задания 13HYPER13 PAGEREF _Toc32338925 \h HYPER145HYPER15
2. Критерии проверки и оценка решений задания 14HYPER13 PAGEREF _Toc32338926 \h HYPER1423HYPER15
3. Критерии проверки и оценка решений задания 15HYPER13 PAGEREF _Toc32338927 \h HYPER1437HYPER15
4. Критерии проверки и оценка решений задания 16HYPER13 PAGEREF _Toc32338928 \h HYPER1451HYPER15
5. Критерии проверки и оценка решений задания 17HYPER13 PAGEREF _Toc32338929 \h HYPER1465HYPER15
6. Критерии проверки и оценка решений задания 18HYPER13 PAGEREF _Toc32338930 \h HYPER1478HYPER15
7. Критерии проверки и оценка решений заданий 19HYPER13 PAGEREF _Toc32338931 \h HYPER1496HYPER15
Указания по оцениванию развернутых ответов участников ЕГЭ для эксперта, проверяющего развёрнутые ответы на задания 13–19 поМАТЕМАТИКЕHYPER13 PAGEREF _Toc32338932 \h HYPER14112HYPER15
HYPER15


ВВЕДЕНИЕ

Общие позиции и характер оценивания выполнения заданий в целом повторяют прошлогодние. Небольшие видоизменения и корректировки формулировок в содержании критериев оценивания для конкретного задания могут иметь место в тех случаях, когда необходимость подобного рода уточнений диктуется содержанием и структурой самого задания.
Более подробное описание заданий с развернутым ответом и критериев оценивания их выполнения представлены ниже, в начале каждого изпараграфов 1–7.

Извлечения из Методических рекомендаций Рособрнадзора по формированию и организации работы предметных комиссий субъекта Российской Федерации при проведении государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования
Во время работы экспертам запрещается:
иметь при себе средства связи, фото-, аудио- и видеоаппаратуру;
копировать и выносить из помещений, в которых работает ПК, экзаменационные работы, критерии оценивания, протоколы проверки экзаменационных работ;
разглашать информацию, содержащуюся в указанных материалах.

Также запрещается:
без уважительной причины покидать аудиторию;
переговариваться с другими экспертами ПК, если речь не идет о консультировании с председателем ПК или с экспертом ПК, назначенным по решению председателя ПК, консультантом.

Если у эксперта возникают вопросы или проблемы, он должен обратиться к председателю ПК или лицу, назначенному председателем ПК консультантом.

1. Критерии проверки и оценка решений задания 13

Задание №13 – тригонометрическое, логарифмическое или показательное уравнение.
Выделение решения уравнения в отдельный пункт а прямо указывает участникам экзамена на необходимость полного решения предложенного уравнения: при отсутствии в тексте конкретной работы ответа на вопрос пунктаа задание №13 оценивается 0 баллов.

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


Комментарий. Ответ в задании с развернутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Задача 13 (демонстрационный вариант 2020 г.).

а)Решите уравнение
.
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .


Решение.
а)Запишем исходное уравнение в виде:
; ; .
Значит, , откуда , , или , откуда , , или , .


б)С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим числа: ; ; .
Ответ: а), ; , ;
Ответ: , ;
Ответ: б); ; .

Комментарий.
Множество корней может записано по-другому.
Отбор корней может быть произведен любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п.
При отборе корней с помощью числовой (тригонометрической) окружности на числовой окружности должно быть: отмечены и обозначены концы числового отрезка, выделена дуга, отмечены и обозначены корни, принадлежащие данному отрезку. На окружности могут быть отмечены вспомогательные числа, принадлежащие числовому отрезку.

Задание 1
а)Решите уравнение
.
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение.
а)Запишем исходное уравнение в виде:
; .
Значит, , откуда , , или , .
Уравнение корней не имеет.


б)С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим числа: ; .




Ответ: а), ; , ; б); .



Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


Задание 2
а)Решите уравнение
.
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение.
а)Пусть , тогда уравнение запишется в виде , откуда или .
При получим: ; , откуда , .
При получим: ; , откуда , , или , .


б)С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим числа: ; .





Ответ: а), ; , ; , ; б); .


Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


Задание 3
а)Решите уравнение
.
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение.
а)Пусть , тогда исходное уравнение запишется в виде , откуда или .
При получим: , значит, , что невозможно.
При получим: , значит, , откуда , , или , .


б)С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим число .



Ответ: а), ; , ; б).

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


Задание 4
а)Решите уравнение
.
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение.
а)Запишем исходное уравнение в виде:
; .
Значит, или , откуда , , или , , или , откуда , , или , .


б)С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим числа: ; ; .




Ответ: а), ; , ; , ; , ;
Ответ: б); ; .

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


Примеры оценивания решений задания 13

Пример 1.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; б); .



Комментарий.
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.

Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 2.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; б); .



Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор корней нельзя назвать обоснованным, так как перебор остановлен на корне, принадлежащем отрезку. Типичный пример выставления 1 балла.

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 3.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; б); .



Комментарий.
Тригонометрическое уравнение решено неверно. Во второй строчке в правой части отсутствует знак минус – ошибка в формуле приведения. Пункт а невыполнен (не из-за вычислительной ошибки).

Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 4.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; , ; б); .



Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но при отборе корней отсутствует решение и ошибочно указано число, которое не является корнем тригонометрического уравнения. Типичный пример выполнения задания на1балл.

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 5.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; , ; б); .


Комментарий.
В записи корней первого простейшего уравнения содержится дублирующая запись корней, но ошибки в этом нет. При отборе корней допущены ошибки при делении и на 2.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 6.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; , ; б); .



Комментарий.
Тригонометрическое уравнение решено неверно.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 7.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; б).



Комментарий.
Получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при вычислении , нопри этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б.
Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 8.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; б).



Комментарий.
Получены неверные ответы не из-за вычислительной ошибки при нахождении корней квадратного уравнения.
Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 9.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; б).



Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор корней с помощью числовой окружности в этом решении нельзя считать обоснованным. Типичный пример выполнения задания на 1балл.
Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 10.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; б).



Комментарий.
При решении простейшего логарифмического уравнения допущена ошибка, которая не является вычислительной, кроме того, при нахождении ОДЗ допущена ошибка, которая никак не может быть отнесена к вычислительной. Любая из этих ошибок уже не позволяет выставить положительный балл. Типичный пример выставления 0баллов.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 11.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; , ; , ;
Ответ: б); ; .


Комментарий.
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.
Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 12.
а)Решите уравнение .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а), ; , ; , ; , ;
Ответ: б); ; .



Комментарий.
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.
Оценка эксперта: 2 балла.
2. Критерии проверки и оценка решений задания 14

Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. Для получения 2баллов нужно, чтобы были выполнены оба пункта, а для получения 1 балла хватает выполнения одного из этих пунктов.
Содержание критерия
Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2

Задача 14 (демонстрационный вариант 2020 г.).
Все рёбра правильной треугольной призмы имеют длину . Точки и — середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями и .



Решение. а) Пусть точка — середина . Тогда
.
Вместе с тем
,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным с прямым углом .
б) Проведём перпендикуляр к прямой . Тогда и . Следовательно, . Поэтому — проекция на плоскость .
Прямая перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Следовательно, угол — линейный угол искомого угла.
Длина равна половине высоты треугольника , то есть . Поэтому . Следовательно, .
Ответ: б) .
Задание 1
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, абоковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а)Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б)Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .


Решение.
а)Проведём через точки и прямые, параллельные . Пусть эти прямые пересекают рёбра и в точках и соответственно (рис.1). Тогда трапеция является сечением исходной призмы плоскостью . Рассмотрим плоскость . Пусть эта плоскость пересекает прямые , и в точках , и соответственно. Четырёхугольник — прямоугольник, причём , .


Кроме того, , , откуда , . Пусть — высота трапеции (рис.2), тогда
.
Поскольку ,
,
то есть прямые и перпендикулярны.


Прямая параллельна прямой , которая перпендикулярна плоскости . Значит, прямые и перпендикулярны прямой , поэтому прямая перпендикулярна плоскости .
б)Расстояние от точки до плоскости равно , а площадь трапеции равна
.
Значит, искомый объём равен .
Ответ: б).
Задание 2

Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых и .
а)Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б)Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9.


Решение.



а)Заметим, что . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой, содержащей высоту пирамиды. Значит, — высота пирамиды. Таким образом, угол является линейным углом двугранного угла между плоскостями и . Значит, они перпендикулярны.
б)Поскольку , трапеция является равнобедренной. Значит,
;
.
Таким образом, площадь треугольника равна , а объём пирамиды равен .
Ответ: б)12.
Задание 3

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .

Рис. 1

Рис. 2

а)Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б)Найдите расстояние от точки до плоскости .

Решение.
а)По условию , значит, прямые и параллельны. Следовательно, плоскости и параллельны (рис. 1).
Поскольку отрезки и параллельны, а плоскость параллельна плоскости , прямая параллельна плоскости .
б)Поскольку плоскость параллельна прямой , расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой до плоскости . Пусть точки и — середины рёбер и соответственно. Тогда прямые и перпендикулярны прямой . Таким образом, плоскость перпендикулярна прямой и параллельной ей плоскости . Пусть плоскость пересекает прямые и в точках и соответственно (рис.2). Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки до прямой . Высота пирамиды лежит в плоскости , откуда
, ; .
Плоскости и параллельны, поэтому , откуда
.
Ответ: б).
Примеры оценивания выполнения задания 14
Пример 1.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а)Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б)Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .


Комментарий.
Доказательство утверждения в пункте а недостаточно обоснованно. Сиспользованием утверждения пункта а верно получен ответ в пункте б.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 2.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а)Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б)Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .



Комментарий.
Утверждение в пункте а не доказано. В основе решения пункта б лежит необоснованное утверждение.

Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 3.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а)Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б)Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .





Комментарий.
Доказательство утверждения в пункте а содержит неточности. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 4.
Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых и .
а)Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б)Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9.
Ответ: б)12.

Комментарий.
Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 5.
Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых и .
а)Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б)Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9.
Ответ: б)12.


Комментарий.
Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б допущена ошибка иполучен неверный ответ.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 6.
Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых и .
а)Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б)Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9.
Ответ: б)12.

Комментарий.
Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 7.
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а)Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б)Найдите расстояние от точки до плоскости .
Ответ: б).

Комментарий.
Утверждение в пункте а доказано. В решении есть неточности обозначений длин отрезков на первом чертеже и неоднозначность использования ссылки на теорему Фалеса. Решение пункта б не закончено.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 8.
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а)Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б)Найдите расстояние от точки до плоскости .
Ответ: б).




Комментарий.
Утверждение в пункте а доказано. В решении пункта б есть неточность в решении системы уравнений (выражение С через А), а при применении формулы расстояния от точки до плоскости неверно найден модуль вектора нормали (не относится к вычислительной ошибке).
Оценка эксперта: 1 балл.

3. Критерии проверки и оценка решений задания 15

Задание №15 – это неравенство – дробно-рациональное, логарифмическое или показательное.

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением / включением граничных точек
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: вместо , или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то следует выставлять оценку 0 баллов.

Задача 15 (демонстрационный вариант 2020 г.).
Решите неравенство .
Решение. Правая часть неравенства определена при и .
Поскольку при любых значениях выражение принимает положительные значения, при и неравенство принимает вид:
; ; ; ,
откуда ; . Учитывая ограничения и , получаем: ; .
Ответ: ; .

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек и/или 0,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2



Задача 1.
Решите неравенство .

Решение.
Пусть , тогда неравенство примет вид:
; ;
, где ; , где ,
откуда ; ; .
При получим: , откуда .
При получим: , откуда .
При получим: , откуда .
Решение исходного неравенства:
; ; .
Ответ: ; ; .

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек 0 и/или 3,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2

Задача 2.
Решите неравенство .
Решение.
Пусть , тогда неравенство примет вид:
; ;
; , откуда ; ; .
При получим: , откуда .
При получим: , откуда .
При получим: , откуда .
Решение исходного неравенства: ; ; .
Ответ: ; 4; .

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 4,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


Задача 3.
Решите неравенство .
Решение.
Запишем исходное неравенство в виде:
; .
Неравенство определено при , поэтому при неравенство принимает вид:
; ,
откуда ; . Учитывая ограничение , получаем: .
Ответ: .



Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки ,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2






Примеры оценивания решений задания 15

Пример 1.
Решите неравенство .
Ответ: ; ; .



Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 2.
Решите неравенство .
Ответ: ; ; .


Комментарий.
В решение содержится запись ОДЗ, которая может трактоваться по-разному.
Ответ получен неверный, но он отличается от верного только исключением точки 3.
Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 3.
Решите неравенство .
Ответ: ; ; .

.
Комментарий.
При решении неравенства допущена ошибка – допущен неравносильный переход. Это привело к неверному ответу.
Оценка эксперта. 0 баллов.
Пример 4.
Решите неравенство .
Ответ: ; 4; .


Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта. 2 балла.
Пример 5.
Решите неравенство .
Ответ: ; 4; .




Комментарий.
При решении неравенства допущена ошибка при решении простейшего логарифмического неравенства. Ответ получен неверный. В решении содержится ошибочное утверждение, связанное с ОДЗ.

Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 6.
Решите неравенство .
Ответ: ; .


Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ. Левая круглая скобка в ответе может быть прочитана как фигурная, но это не является основанием для того, чтобы считать ответ неверным.
Оценка эксперта. 2 балла.

Пример 7.
Решите неравенство .
Ответ: ; .



Комментарий.
В решении допущены ошибочные утверждения, присутствует неравносильный переход при решении неравенств, получен ответ (совпадающий с верным).

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 8.
Решите неравенство .
Ответ: ; .



Комментарий.
Ответ неверный. При преобразовании числителя допущена вычислительная ошибка, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 9.
Решите неравенство .
Ответ: .




Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 10.
Решите неравенство .
Ответ: .


Комментарий.
Система неравенств решена неверно (не вычислительная ошибка).

Оценка эксперта: 0 баллов.


4. Критерии проверки и оценка решений задания 16

Задание №16 – это планиметрическая задача. В пункте а теперь нужно доказать геометрический факт, в пункте б – найти (вычислить) геометрическую величину.

Содержание критерия
Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
3


Задача 16 (демонстрационный вариант 2020 г.).
Две окружности касаются внешним образом в точке Прямая касается первой окружности в точке , а второй — в точке Прямая пересекает первую окружность в точке прямая пересекает вторую окружность в точке
а)Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б)Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение. а)Обозначим центры окружностей и соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке пересекает в точке По свойству касательных, проведённых из одной точки, и Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.
Вписанный угол прямой, поэтому он опирается на диаметр Значит, Аналогично, получаем, что Следовательно, прямые AD иBC параллельны.
б)Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.
Треугольники и подобны, . Пусть тогда

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, то есть Аналогично, Площадь трапеции равна .
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к перпендикуляр равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника :
.
Тогда
.
Следовательно, , откуда и
Ответ: 3,2.


Задача 1.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям. Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а)Докажите, что прямые и параллельны.
б)Найдите отношение к , если .


Решение.
а)Поскольку
,
около четырёхугольников и можно описать окружности (рис.1).
Значит,
,
то есть прямые и параллельны.


б)Опустим из точки перпендикуляр на прямую (рис.2). Стороны и треугольников и лежат на одной прямой, а стороны и , и попарно параллельны. Значит, треугольники и подобны.
Поскольку



коэффициент подобия равен . Значит,
.
Ответ: б).

Задача 2.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике на продолжение боковой стороны опущена высота . Из точки на сторону и основание опущены перпендикуляры и соответственно.
а)Докажите, что отрезки и равны.
б)Найдите , если , .


Решение.
а)Поскольку , около четырёхугольника можно описать окружность с диаметром . Получаем:
,
поэтому как хорды, стягивающие равные дуги.


б)В прямоугольных треугольниках и имеем:
.
Поскольку , получаем:
.
Ответ: б).

Содержание критерия
Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
3


Задача 3.
В остроугольном треугольнике все стороны различны. Прямая, содержащая высоту треугольника , вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке . Отрезок — диаметр этой окружности.
а)Докажите, что .
б)Найдите , если радиус описанной около треугольника окружности равен 16, , .

Решение.


а)Поскольку — диаметр описанной около треугольника окружности, получаем

.
Следовательно, хорды и стягивают равные дуги, а значит, они равны.
б)Пусть — радиус окружности, описанной около треугольника . Имеем:
,
;
.
Следовательно, по теореме синусов
.
Ответ: б).

Содержание критерия
Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
3


Примеры оценивания решений задания 16

Пример 1.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям. Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а)Докажите, что прямые и параллельны.
б)Найдите отношение к , если .
Ответ: б).



Комментарий.
Имеется попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи 5) – при вычислении угла : . Замена угла углом возможна только при условии параллельности прямых и , а как раз это и требовалось доказать.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 2.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям. Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а)Докажите, что прямые и параллельны.
б)Найдите отношение к , если .
Ответ: б).


Комментарий.
В данном решении есть попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи – это возможно только при параллельности прямых и , а как раз это и требовалось доказать. Верный ответ в пункте б получен обоснованно с использованием недоказанного утверждения пункта а.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 3.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям. Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а)Докажите, что прямые и параллельны.
б)Найдите отношение к , если .
Ответ: б).



Комментарий.
Логическая ошибка: доказательство утверждения пункта а опирается на дополнительное условие из пункта б.

Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 4.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике на продолжение боковой стороны опущена высота . Из точки на сторону и основание опущены перпендикуляры и соответственно.
а)Докажите, что отрезки и равны.
б)Найдите , если , .
Ответ: б).



Комментарий.
Доказательство утверждения пункта а верно. Правда, следует отметить, что вдоказательстве получено много верных утверждений, которые не нужны длядоказательства равенства отрезков и , кроме того некорректно формулируется признак подобия треугольников.
В решении пункта б допущена ошибка при вычислении длины отрезка – вместо должно быть .
Оценка эксперта: 1 балл.Пример 5.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике на продолжение боковой стороны опущена высота . Из точки на сторону и основание опущены перпендикуляры и соответственно.
а)Докажите, что отрезки и равны.
б)Найдите , если , .
Ответ: б).


Комментарий.
Доказательство утверждения пункта а отсутствует. Решение пункта б выполнено верно с использованием недоказанного утверждения пункта а.

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 6.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике на продолжение боковой стороны опущена высота . Из точки на сторону и основание опущены перпендикуляры и соответственно.
а)Докажите, что отрезки и равны.
б)Найдите , если , .
Ответ: б).


Комментарий.
В доказательстве утверждения пункта а есть некорректное утверждение – – биссектриса, при этом тут же записаны утверждения, соответствующие медиане прямоугольного треугольника.
Решение пункта б выполнено верно.

Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 7.
В остроугольном треугольнике все стороны различны. Прямая, содержащая высоту треугольника , вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке . Отрезок — диаметр этой окружности.
а)Докажите, что .
б)Найдите , если радиус описанной около треугольника окружности равен 16, , .
Ответ: б).


Комментарий.
В доказательстве утверждения пункта а есть верное название прямого угла – , при этом тут же записано утверждение, противоречащее условию, – BH – диаметр. Утверждение, записанное во второй строчке (т.к. они опираются на одну дугу), содержит неточность, так как точка H не лежит на окружности, а (т.к. они опираются на одну дугу). Решение пункта б отсутствует.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 8.
В остроугольном треугольнике все стороны различны. Прямая, содержащая высоту треугольника , вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке . Отрезок — диаметр этой окружности.
а)Докажите, что .
б)Найдите , если радиус описанной около треугольника окружности равен 16, , .
Ответ: б).


Комментарий.
В доказательстве утверждения пункта а есть недоказанное утверждение, что – трапеция. В решении есть некорректное утверждение – По свойству трапеции, вписанной в окружность ее стороны равны, при этом рядом записано верное равенство боковых сторон. Решение пункта б отсутствует.

Оценка эксперта: 1 балл.
5. Критерии проверки и оценка решений задания 17

Задание №17 – это текстовая задача с экономическим содержанием.

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
3

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:
— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
— верный ответ, но решение недостаточно обосновано
2

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
3


Подробнее: 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи. Именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать и описание того, как построена модель, и направление, продолжаемое до верного решения.
Оценка в 2 балла, разумеется, включает в себя условие выставления 1 балла, но существенно ближе к верному решению задачи. Здесь предполагается завершенное, практически полное решение соответствующей математической задачи. Типичные допустимые погрешности здесь – вычислительные ошибки (при наличии всех шагов решения) или пробелы в описании составления модели.
Следует подчеркнуть, что один и тот же сюжет может быть успешно сведен к различным математическим моделям и доведён до верного ответа. По этой причине в критериях оценивания нет жесткого упоминания какой-либо конкретной (арифметической, алгебраической, геометрической, функциональной) модели.

Задача 17 (демонстрационный вариант 2020 г.).
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млнрублей. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07

Долг
(в млнрублей)
1
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
0

Найдите наибольшее значение , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2млнрублей.


Решение. По условию, долг перед банком (в млнрублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.
Пусть , тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:
; ; ; ; ; .
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
; ; ; ; ; .
Общая сумма выплат составляет:

По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2млнрублей, значит,
; ; .
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, искомое число процентов — 7.
Ответ: 7.

Задача 1.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млнрублей. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07

Долг
(в млнрублей)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0

Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2млнрублей.

Решение.
По условию, долг перед банком (в млнрублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0.
Пусть , тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:
; ; ; ; ; .
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
; ; ; ; ; .
Общая сумма выплат составляет:

По условию, общая сумма выплат будет больше 1,2млнрублей, значит,
; ; .
Наименьшее целое решение этого неравенства — число 5. Значит, искомое число процентов — 5.
Ответ: 5.
Задача 2.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите .


Решение.
Пусть сумма кредита составляет рублей, а ежегодные выплаты рублей, . По условию, долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
, , , , .
Таким образом, если долг будет выплачен двумя равными платежами , то
.
Если долг будет выплачен четырьмя равными платежами , то
.
Таким образом, , откуда ; . Значит, .
Ответ: 10.
Задача 3.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите .
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Решение.
Пусть сумма кредита равна . По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:
, , …, , , 0.
Первого числа каждого месяца долг возрастает на . Пусть , тогда последовательность размеров долга на 1-е число каждого месяца такова:
, , …, , .
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
, , …, , .
Всего следует выплатить .
Общая сумма выплат на 20% больше суммы, взятой в кредит, поэтому
; ; .
Ответ: 1.

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
3

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:
— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
— верный ответ, но решение недостаточно обосновано
2

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
3

Примеры оценивания решений задания 17
Пример 1.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млнрублей. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07

Долг
(в млнрублей)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0

Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2млнрублей.
Ответ: 5.



Комментарий.
Модель построена неверно. Если подставить вместо число 3 в таблицу, то сумма долга уже на 1 число второго месяца должна составить 4 млн рублей, кроме того, еще и неравенство решено неверно.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 2.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млнрублей. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07

Долг
(в млнрублей)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0

Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2млнрублей.
Ответ: 5.



Комментарий.
Модель построена верно. Усложняет проверку отсутствие вычислений. Втаблице все результаты вычислений по формулам, записанным справа, верные. Логика решения верна.

Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 3.
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млнрублей. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07

Долг
(в млнрублей)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0

Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2млнрублей.
Ответ: 5.

Комментарий.
Почти правильное решение, содержащее ошибки (вычислительного характера). Две ошибки: 1) , а не ; 2) , т.е. должно быть – не позволяют выставить 2 балла.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 4.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите .
Ответ: 10.


Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 5.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите .
Ответ: 10.


Комментарий.
В решении без объяснений записаны уравнения. Переход от системы к уравнению относительно k не объяснен. Числовой ответ явно не получен: не извлечен корень из числа 14641. Таким образом, решение недостаточно обоснованное.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 6.
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млнрублей. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07

Долг
(в млнрублей)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0

Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2млнрублей.
Ответ: 5.


Комментарий.
В решении без объяснений записано неравенство. Неравенство явно не решено. Таким образом, решение недостаточно обоснованное.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 7.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите .
Ответ: 1.


Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 8.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите .
Ответ: 1.

Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 3 балла.
6. Критерии проверки и оценка решений задания 18
Задание №18 – это уравнение, неравенство или их системы с параметром.
Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:
– чисто алгебраический способ решения;
–способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;
– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, игеометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.
Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт кцели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.

Задача 18 (демонстрационный вариант 2020 г.).
Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение. Если , то уравнение задаёт окружность с центром в точке радиусом , а если , то оно задаёт окружность с центром в точке таким же радиусом (см. рисунок).
При положительных значениях уравнение задаёт окружность с центром в точке радиусом . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как, то .
При или окружности и не пересекаются.
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются.
Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как , то .
При или окружности и не пересекаются.
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа и .
Ответ: .


Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
4

С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;
– или решение недостаточно обосновано
3

С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
2

Задача сведена к исследованию:
– или взаимного расположения трёх окружностей;
– или двух квадратных уравнений с параметром
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4


Задача 1.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению при условии .
Решим уравнение :
; ; , откуда , или .
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие .
Рассмотрим условия совпадения корней. При имеем . При имеем . При остальных значениях числа 0, , различны.
При получаем: при всех значениях .
При получаем: .
Это выражение неотрицательно при .
При получаем: .
Это выражение неотрицательно при .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
; ; .
Ответ: ; ; .
Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
4

С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или
3

С помощью верного рассуждения получен промежуток множества значений a, возможно, с включением граничных точек
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
2

Получены корни уравнения : , , ; и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии ()
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4

Задача 2.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.
Решение.


Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1)Если , то получаем уравнение
;
;
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом .
2)Если , то получаем уравнение
; ; .
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом .
Полученные окружности пересекаются в двух точках и , лежащих на прямой , поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках и , во втором — дугу с концами в тех же точках (см.рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую , которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен .
При прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.
При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При или прямая пересекает каждую из дуг и в точке и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.
При прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
При прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при .
Ответ: .

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
4

С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или
3

При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
2

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически)
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4


Задача 3.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение.
Корнями исходного уравнения являются корни уравнения , для которых выполнено условие .
При уравнение принимает вид и задаёт на плоскости луч с началом в точке . При уравнение принимает вид и задаёт луч с началом в точке . Значит, уравнение имеет два корня при , имеет один корень при и не имеет корней при .
Уравнение задаёт параболу .
Координаты точек пересечения параболы с лучом являются решениями системы:

Значит, парабола пересекается с лучом в точках и .
Координаты точек пересечения параболы с лучом являются решениями системы:

Значит, парабола пересекается с лучом в точках и .
Следовательно, условие выполнено для корней уравнения при всех , кроме , , и .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при ; ; ; ; .
Ответ: ; ; ; ; .


Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
4

С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки
3

Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек , и/или , или множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек , и/или ,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
2

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически)
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4


Примеры оценивания решений задания 18
Пример 1.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Ответ: ; ; .


Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 4 балла.
Пример 2.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Ответ: ; ; .


Комментарий.
Решение логично, все шаги присутствуют, но при решении неравенства впункте 2) допущена ошибка вычислительного характера, что соответствует критерию на 2 балла.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 3.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Ответ: ; ; .



Комментарий.
Получены корни уравнения , , и задача сведена кисследованию полученных корней при условии (есть только указание).
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 4.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Ответ: ; ; .



Комментарий.
В решении присутствуют все этапы. Решение соответствует критерию на 3балла: с помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или .
Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 5.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.
Ответ: .







Комментарий.
Ход решения ясен, изложен более чем подробно. Ошибок нет, кроме недочета: концы промежутка не включены в ответ.

Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 6.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.
Ответ: .


Комментарий.
Решение и ответ верные, хотя нет обоснования, почему для касания должно быть равно –8 или …7/4.
Оценка эксперта: 4 балла.
Пример 7.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Ответ: ; ; ; ; .



Комментарий.
Обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 4 балла.

Пример 8.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Ответ: ; ; ; ; .


Комментарий.
Неверное решение уравнения, содержащего переменную под знаком модуля. Неверная логика исследования количества корней.
Оценка эксперта: 0 баллов.
7. Критерии проверки и оценка решений заданий 19

Задание 19 проверяет достижение следующих целей изучения математики на профильном уровне: "развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности".
При этом, для решения этой задачи не требуется никаких фактов, выходящих за рамки школьного курса.
Условие задания 19 разбито на пункты - ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге полностью выполнить задание. Такое разбиение, в первую очередь, облегчает участнику экзамена планирование работы над данной задачей, а также позволяет более четко и прозрачно провести оценивание выполнения задания.

Задача 19 (демонстрационный вариант 2020 г.).
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а)Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б)Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?
в)Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Решение. а)Пусть в школе №1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу №2. Тогда средний балл в школе №1 уменьшился в 10 раз.
б)Пусть в школе №2 писали тест учащихся, средний балл равнялся , а перешедший в неё учащийся набрал баллов. Тогда получаем:
; .
Если , то не делится на 10, а делится на 10. Но это невозможно, поскольку .
в)Пусть в школе №1 средний балл равнялся . Тогда получаем:
; .
Заметим, что если или , то не делится на 10. Если или , то . В первом случае , а во втором . Значит, ни один из этих случаев не возможен.
При и получаем и . Этот случай реализуется, например, если в школе №1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 — по 3 балла, в школе №2 писали тест 3 учащихся и каждый набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося – 3 балла.
Ответ: а)да; б)нет; в)5.

Содержание критерия
Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
2

Верно получен один из следующих результатов:
– обоснованное решение пункта а;
– обоснованное решение пункта б;
– искомая оценка в пункте в;
– пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4


Задача 1.
В последовательности , , …, , , состоящей из целых чисел, , . Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.
а)Приведите пример такой последовательности.
б)Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в)Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Решение.
а)Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, , 7, , …, 233, , 235
удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).
б)Поскольку 3, 5 и 25 — нечётные числа, любые два соседних члена последовательности имеют разную чётность. На нечётных местах должны стоять нечётные числа, а на чётных — чётные. Число 235 нечётное, поэтому оно не может стоять на чётном месте. Значит, последовательность не может состоять из 1000 членов.
в)Рассмотрим три члена последовательности: , , .
Поскольку , , получаем: .
В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов. Пусть , тогда
; ,
откуда . Значит, последовательность состоит не менее чем из 23 чисел.
Приведём пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, состоящей из 23 членов: 1, 2, 23, , 45, , 67, , 89, , 111, , , , 155, , 175, , 195, , 215, , 235.
Ответ: а)например, 1, 2, 3, 0, 5, , 7, , …, 233, , 235; б)нет; в)23.
Содержание критерия
Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
2

Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— искомая оценка в п. в;
— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4

Задача 2.
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а)Может ли сумма написанных чисел быть меньше , если все числа на доске кратны 3?
б)Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в)Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
Решение.
а)Если на доске записано 29 зелёных чисел: 3, 6, …, 87 — и одно красное число 21, то их сумма меньше 1395.
б)Пусть на доске ровно одно красное число. Тогда зелёных чисел 29, а их сумма не меньше, чем сумма 29 наименьших чисел, делящихся на 3:
.
Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1067.
в)Пусть на доске написано красных чисел и зелёных чисел. Тогда сумма красных чисел не меньше ,
а сумма зелёных чисел не меньше
.
Таким образом, ; ,
откуда, учитывая, что — целое, получаем .
Приведём пример 6 красных чисел и 24 зелёных чисел, сумма которых равна 1067: 7, 14, 21, 28, 35, 56, 3, 6, …, 66, 69, 78.
Ответ: а)да; б)нет; в)6.
Содержание критерия
Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
2

Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— искомая оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4


Задача 3.
На столе лежит 40 карточек, часть из которых красного цвета, а остальные синего (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано натуральное число. Все числа, написанные на синих карточках, различны. Любое число на красной карточке меньше любого числа на синей карточке. Среднее арифметическое всех чисел на карточках равно 14. Если утроить числа на синих карточках, то среднее арифметическое всех чисел станет равно 39.
а)Может ли на столе быть ровно 10 синих карточек?
б)Может ли на столе быть ровно 10 красных карточек?
в)Какое наибольшее количество синих карточек может быть на столе?

Решение.
а)Если на тридцати красных карточках написано число 2, а на синих карточках написаны числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 437, то условия задачи выполнены.
б)Пусть сумма чисел, написанных на красных карточках, равна , а сумма чисел, написанных на синих карточках, равна . Тогда
; ,
откуда , .
Предположим, что красных карточек 10 штук. Если все числа на красных карточках не превосходят 5, то их сумма не превосходит . Но , значит, есть хотя бы одна карточка, на которой написано число, не меньшее 6. Так как любое число на синей карточке больше любого числа на красной карточке, все числа на синих карточках не меньше 7, а их сумма не меньше . Но , значит, не может быть ровно 10 красных карточек.
в)Предположим, что синих карточек штук, а наибольшее число, написанное на красной карточке, равно . Тогда . С другой стороны, так как любое число на синей карточке больше любого числа на красной карточке, все числа на синих карточках не меньше , а их сумма не меньше
.
Но , значит,
; .
Таким образом, получаем
.
Заметим, что это неравенство не выполняется при , поскольку при
и .
Но неравенство не имеет целых решений, значит, синих карточек не может быть больше 26.
Покажем, что может быть 26 синих карточек. Если на десяти красных карточках написано число 4, на четырёх красных карточках написано число 5, а на синих карточках написаны числа 6, 7, …, 29, 30, 50, то условия задачи выполнены.
Ответ: а) да; б) нет; в) 26.

Содержание критерия
Баллы

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в
4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пунктах а или б
3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в
2

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а или б
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4


Примеры оценивания решений задания 19
Пример 1.
В последовательности , , …, , , состоящей из целых чисел, , . Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.
а)Приведите пример такой последовательности.
б)Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в)Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Ответ: а)например, 1, 2, 3, 0, 5, , 7, , …, 233, , 235; б)нет; в)23.


Комментарий.
В пункте а допущена ошибка – сумма первых двух чисел равна –25. При ответе на вопрос пункта б участник экзамена верно показал, что случай невозможен.

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 2.
В последовательности , , …, , , состоящей из целых чисел, , . Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.
а)Приведите пример такой последовательности.
б)Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в)Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Ответ: а)например, 1, 2, 3, 0, 5, , 7, , …, 233, , 235; б)нет; в)23.

Комментарий.
В пункте а верно приведен пример. Решение пункта б неверно.

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 3.
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а)Может ли сумма написанных чисел быть меньше , если все числа на доске кратны 3?
б)Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в)Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
Ответ: а)да; б)нет; в)6.


Комментарий.
Приведено верное решение пункта а. Приведено верное решение пункта б.
Решение в пункте в не завершено.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 4.
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а)Может ли сумма написанных чисел быть меньше , если все числа на доске кратны 3?
б)Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в)Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
Ответ: а)да; б)нет; в)6.



Комментарий.
Обоснованно получены верные ответы во всех пунктах.
Оценка эксперта: 4 балла.
Пример 5.
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а)Может ли сумма написанных чисел быть меньше , если все числа на доске кратны 3?
б)Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в)Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
Ответ: а)да; б)нет; в)6.

Комментарий.
Обоснованно получен ответ в пунктах а и б. В решении пункта в есть логическая ошибка: не доказано, что красных чисел не может быть меньше 5. Взяв пять красных, нужно взять 25 зеленых чисел, а не 26. Кроме того, сумма чисел найдена неверно.

Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 6.
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а)Может ли сумма написанных чисел быть меньше , если все числа на доске кратны 3?
б)Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в)Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
Ответ: а)да; б)нет; в)6.

Комментарий.
Обоснованно получен ответ в пунктах а и б. В пункте в неверное обоснование, поскольку не доказано, что набор сминимальным количеством красных чисел получается заменой максимальных чисел из набора 3, 6, ..., 90 на минимально возможные различные красные числа. Кроме того, разница между пятью самыми большими зелеными числами и пятью самыми маленькими красными числами составляет 315.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 7.
На столе лежит 40 карточек, часть из которых красного цвета, а остальные синего (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано натуральное число. Все числа, написанные на синих карточках, различны. Любое число на красной карточке меньше любого числа на синей карточке. Среднее арифметическое всех чисел на карточках равно 14. Если утроить числа на синих карточках, то среднее арифметическое всех чисел станет равно 39.
а)Может ли на столе быть ровно 10 синих карточек?
б)Может ли на столе быть ровно 10 красных карточек?
в)Какое наибольшее количество синих карточек может быть на столе?

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.




Комментарий.
В решении пункта а приведен пример чисел на синих карточках, в котором есть повторяющееся число 21, да и сумма этих чисел равна 495, а не 500. Обоснованно получен ответ в пункте б. Решение пункта в фактически отсутствует, да и сам ответ неверный.
Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 8.
На столе лежит 40 карточек, часть из которых красного цвета, а остальные синего (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано натуральное число. Все числа, написанные на синих карточках, различны. Любое число на красной карточке меньше любого числа на синей карточке. Среднее арифметическое всех чисел на карточках равно 14. Если утроить числа на синих карточках, то среднее арифметическое всех чисел станет равно 39.
а)Может ли на столе быть ровно 10 синих карточек?
б)Может ли на столе быть ровно 10 красных карточек?
в)Какое наибольшее количество синих карточек может быть на столе?

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.


Комментарий.
В решении пункта а есть только описание чисел, написанных на синих карточках. Указания чисел, написанных на красных карточках, отсутствует. В решении пункта б допущена вычислительная ошибка. Решение пункта в отсутствует.
Оценка эксперта: 2 балла.
Указания по оцениванию развернутых ответов участников ЕГЭ для эксперта, проверяющего развёрнутые ответы на задания 13–19 поМАТЕМАТИКЕ
(документ предоставляется эксперту при проведении оценивания экзаменационных работ вместе с критериями оценивания)

Эксперт, проверяющий задания с развернутым ответом, располагает следующими материалами:
тексты заданий;
возможный вариант решения каждой задачи 13–19;
критерии оценивания заданий 13–19.
При проверке выполнения заданий с развернутым ответом эксперт должен иметь возможность пользоваться непрограммируемым калькулятором.

В критериях оценивания выполнения заданий с развернутым ответом КИМ ЕГЭ по математике для каждого задания приводится один возможный вариант решения. Однако предлагаемый разработчиками КИМ способ (метод) решения не является эталонным. Он лишь помогает эксперту врешении соответствующего задания.
Выполнение заданий оценивается в соответствии с критериями оценивания ответов на задания с развернутым ответом. Принципом построения системы оценивания является оценка продвижений участника экзамена в решении задачи в виде достижения формализованных в критериях промежуточных результатов. Максимальный балл выставляется только приналичии в тексте решения обоснованно полученного правильного ответа. Наличие в тексте решения недостатка в обосновании ответа иливычислительной ошибки не позволяет выставить за решение задания всоответствии с критериями максимальный балл. В случае, когда решение неподпадает ни под один из критериев положительных баллов (не достигнут ниодин промежуточный математический результат), выполнение задания оценивается 0баллов.

При использовании обобщенной схемы оценивания ответов на каждое из заданий 13-19 рекомендуется обращать внимание на следующие моменты:

Перед проведением проверки выполнения каждого из заданий необходимо изучить критерии его оценивания в материалах дляэксперта, обратив внимание на детализацию и конкретизацию обобщенной схемы оценивания применительно к конкретному заданию.

Решение участника экзамена может иметь логику, отличную от логики решения, данного в критериях (альтернативное решение). В этом случае эксперт оценивает допустимость решения конкретной задачи тем способом, который выбрал участник экзамена. Если ход решения допустим, то эксперт оценивает обоснованность этого решения наосновании той совокупности свойств (признаков), формул илиутверждений, которые соответствуют выбранному способу решения.

Участник экзамена может использовать без доказательства математические факты и формулы, содержащиеся в учебниках, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых киспользованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования (далее – Федеральный перечень).

Если экзаменуемый использует в решении без доказательства формулы и факты, которые не представлены в учебниках, входящих вФедеральный перечень, то такое решение классифицируется какнедостаточно обоснованное.

Если математические преобразования, представленные в решении, неотражают основных необходимых логических шагов, то решение неможет оцениваться максимальным баллом.

Если при решении геометрической задачи использует рисунок, тоошибки в соотношении длин отрезков на рисунке, не влекут засобой снижения баллов за решение геометрической задачи, если нарисунке верно отображена геометрическая конфигурация и верно обозначены точки, описанные в решении.

При проверке правильности решения необходимо проверять корректность промежуточных шагов решения, в том числе числовых выкладок (при необходимости, с помощью калькулятора). Наличие ошибок в промежуточных выкладках, даже не повлиявших наитоговый ответ, означает наличие математически некорректного перехода в решении задачи, что не позволяет оценить решение задачи максимальным баллом.

Если участник экзамена решает задачу с другими числовыми данными, то такое решение задачи оценивается в 0 баллов, даже если он решают содержательно более сложную задачу.

При проверке решения каждого из заданий 13–19 необходимо вычленить в решении три элемента:
логика (последовательность и закономерность) решения,
обоснованность решения,
числовой ответ.
Количество логических шагов в решении и перечень условий изакономерностей зависит от выбранного способа решения. Это необходимо учитывать при применении критериев оценивания выполнения задания сразвернутым ответом.

В процессе проверки необходимо придерживаться следующих общих правил:

При работе эксперт выставляет свои оценки в протокол проверки развернутых ответов.

Выставление баллов в протокол проверки развернутых ответов рекомендуется проводить по работам: все задания первой проверяемой работы, все задания второй проверяемой работы и т.д. Это позволяет обнаружить ошибки, допущенные экзаменуемым в нумерации задач, атакже обнаружить непронумерованную, или пронумерованную неверно, или случайно пропущенную экспертом задачу. Ошибочное указание участником экзамена номера задачи, которую он выполняет, неможет служить основанием для снижения оценки за фактически выполненное задание.

Результаты оценивания переносятся в протокол проверки развернутых ответов, при этом баллы по каждому заданию переносятся в колонку, название которой соответствует номеру задания (см. рисунок 1):
( баллы по заданию 13 переносятся в колонку 13 протокола;
( баллы по заданию 14 переносятся в колонку 14 протокола;
( баллы по заданию 15 переносятся в колонку 15 протокола;
( баллы по заданию 16 переносятся в колонку 16 протокола;
( баллы по заданию 17 переносятся в колонку 17 протокола;
( баллы по заданию 18 переносятся в колонку 18 протокола;
( баллы по заданию 19 переносятся в колонку 19 протокола.

Баллы выставляются в протокол проверки гелевой черной ручкой.

Внесение изменений в протокол проверки крайне нежелательно. Использование замазок и затирок с целью исправления записей категорически недопустимо!

Рисунок 1. Протокол проверки развернутых ответов 2020 года. Образец.


Внимание! При выставлении баллов за выполнение задания в Протокол проверки развернутых ответов следует иметь в виду, что если ответ отсутствует (нет никаких записей, свидетельствующих о том, что экзаменуемый приступал к выполнению задания), то в протокол проставляется Х, а не 0. Если в работе записан только номер задания без попыток ее решения, то в протокол выставляется 0.










HYPER13PAGE HYPER15




HYPER13PAGE HYPER15


2

115


HYPER13PAGE HYPER15




X