• Название:

    26. Ряды с неотрицательными членами. Необходимо...

  • Размер: 0.03 Мб
  • Формат: DOC
  • или



26. Ряды с неотрицательными членами.
Необходимое и достаточное условие сходимости.
Признак сравнения.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.
Необходимое условие:
Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел.
Следовательно она ограничена.
А значит она ограничена и снизу и сверху.
Доказано
Достаточное условие:
Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху.
Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: S(n + 1) − S(n) = a(n + 1) Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм ограничена сверху.
Признак сравнения:
Пусть даны два ряда с положительными членами

и

и каждый член ряда (17) не превосходит соответствующего члена ряда (18), т.е. выполняется (n = 1, 2, 3, …).
Тогда, если сходится ряд (18), то сходится и ряд (17).
Если ряд (17) расходится, то ряд (18) также расходится.
Этот признак остается в силе, если условие выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.