• Название:

    25. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости чис...

  • Размер: 0.07 Мб
  • Формат: DOC
  • или



25. Числовые ряды.
Критерий Коши сходимости числового ряда.
Следствие: необходимое условие сходимости ряда.
Выражение(1)
где (uk)k(N — заданная числовая последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2, .... Sn = u1 + u2 +...+ un, называются частичными суммами ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2)
то ряд (1) называется сходящимся, а число S—суммой ряда (1)

Необходимое условие сходимости:
Если ряд (1) сходится, то

Доказательство:
Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при nи (n-1).
Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем -= =un=0, что и требовалось доказать.

Критерий Коши:

Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало N = N(ε) такое, что для всех n > N и р = 1, 2, … выполнялось неравенство:
Доказательство:

Частный случай:
При : , следовательно, (необходимое условие сходимости ряда).