• Название:

    6. Необходимое и достаточное условие совместимо...

  • Размер: 0.04 Мб
  • Формат: DOC
  • или



6. Необходимое и достаточное условие совместимости системы.
Теорема Кронекера – Капелле.

Система совместна тогда и только тогда, когда Rang А, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен Rang Yрасширенной матрицы, т.е. матрицы, которая получена из матрицы A присоединением к ней столбца свободных членов.
а11
а12

а1n
b1

а21
а22

а2n
b2

аm1
аm2

аmn
b3

Rang A = Rang
Вектор столбец
(*) a1x1 + a2x2 +…+ anxn =b
1) Необходимость:

Дано: совместная система, доказать: Rang A = Rang
Доказательство:

Так как система совместна, то есть, имеет решение, то существует такой набор чисел x1=c1 , x2=c2 , xn=cn , при подставлении которых в систему (*) получится верное равенство.
Следовательно, b есть линейная комбинация остальных столбцов.
1x1 + 2x2 +…+ nxn =
-> линейная комбинация столбцов.
Если в матрице один столбец является линейной комбинацией остальных, то при добавлении к матрице А этого столбца, её Rang не меняется, т.е.
Rang A = Rang
2) Достаточность:
Дано: Rang A = Rang
Доказать: система (*) совместна.
Доказательство:

Матрицы A и отличаются только и т.к. их ранги равны, то дабавление к А не меняет её ранга.
Значит, этот столбец – линейная комбинация остальных столбцов.
Т.е. существует такие числа c1, c2, c3,…,cn, что 1c1+ 2c2+…+ncn= . Но это и есть система (*)
-> (*) удовлетворилась при x1=c1, x2=c2, xn=cn ч.т.д.
Т.е. с1,с2,сn – решения системы.