• Название:

    14. Числовые характеристики одномерной случайно...

  • Размер: 0.04 Мб
  • Формат: DOC
  • или



14. Числовые характеристики одномерной случайной величины.

Некоторые числовые характеристики одномерных случайных величин: начальные и центральные моменты, мода, медиана, квантиль, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Числовые характеристики двумерных случайных величин: начальные и центральные моменты.
Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Коррелированность и зависимость случайных величин.
Определение 9.1.Начальным моментом порядкаkслучайной величины Хназывается матема-тическое ожидание величины Xk:
νk=M(Xk). (9.1)
В частности, ν1=М(Х), ν2=М(Х2).
Следовательно, дисперсия D(X) =ν2–ν1.
Определение 9.2.Центральным моментом порядкаkслучайной величины Хназывается мате-матическое ожидание величины (Х – М(Х))k:
μk=M((Х – М(Х))k). (9.2)
В частности, μ1=M(Х – М(Х)) = 0, μ2=M((Х – М(Х))2) =D(X).
Можно получить соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

Мода и медиана
Такая характеристика случайной величины, как математическое ожидание, называется иногдахарактеристикой положения, так как она дает представление о положении случайной величии-ны на числовой оси.
Другими характеристиками положения являются мода и медиана.
Определение 9.3.Модой Мдискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение,модой Мнепрерывной случайной величины – значение, в котором плотность вероятности максимальна.
Пример 1.
Если ряд распределения дискретной случайной величины Химеет вид:
Х
1
2
3
4

р
0,1
0,7
0,15
0,05

то М= 2.
Пример 2.
Для непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения, модой является абсцисса точки максимума:

М= 0.
Замечание 1.Если кривая распределения имеет больше одного максимума, распределение называетсяполимодальным, если эта кривая не имеет максимума, но имеет минимум –анти-модальным.
Замечание 2.В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают.
Но, если распре-деление является симметричным и модальным (то есть кривая распределения симметрична от-носительно прямойх = М) и имеет математическое ожидание, оно совпадает с модой.
Определение 9.4.Медианой Менепрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого
p(XMe). (9.3)
Графически прямаях = Меделит площадь фигуры, ограниченной кривой распределения, на две равные части.
Замечание.
Для симметричного модального распределения медиана совпадает с математичес-ким ожиданием и модой.
Определение 9.5.Для случайной величины Хс функцией распределения F(X)квантилью порядкар(0 В частности, если F(X) строго монотонна,Кр:F(Kp) =p.
Асимметрия и эксцесс
Если распределение не является симметричным, можно оценить асимметрию кривой распреде-ления с помощью центрального момента 3-го порядка.
Действительно, для симметричного распределения все нечетные центральные моменты равны 0 ( как интегралы от нечетных функ-ций в симметричных пределах), поэтому выбран нечетный момент наименьшего порядка, не тождественно равный 0. Чтобы получить безразмерную характеристику, его делят на σ3(так как μ3имеет размерность куба случайной величины).
Определение 9.6.Коэффициентом асимметриислучайной величины называется
. (9.4)

Рис.1. Рис.2.
В частности, для кривой, изображенной на рис.1,Sk> 0, а на рис.2 -Sk< 0.
Для оценки поведения кривой распределения вблизи точки максимума (для определения того, насколько крутой будет его вершина) применяется центральный момент 4-го порядка.
Определение 9.7.Эксцессомслучайной величины называется величина
(9.5)
Замечание.
Можно показать, что для нормального распределения, и, соответственно,Ех= 0. Для кривых с более острой вершиной Ех >0, в случае более плоской вершины Ех <0.