• Название:

    Лаб 7 Решение задач с постоянной рентой

  • Размер: 0.1 Мб
  • Формат: DOC
  • или



Лабораторная работа № 7
Решение задач с постоянной рентой
Цель работы:

Освоение навыков решения задач
7. Постоянные ренты
Поток платежей, все члены которого имеют одинаковую величину К и разделены равными промежутками времени, называют постоянной рентой.
Один из возможных вариантов такого потока {-Р, -К, -К, ..., -К, S}, т.е. начальный взнос Р и последующие выплаты К дают в итоге S. Если платежи производятся в конце периодов, то ренту называют обыкновенной, или постнумерандо.
Если же платежи происходят в начале периодов, то ренту называют пренумерандо.
Приведем формулу, которую используют функции Ехсеl для расчетов: если r≠0, и Р + Rп + S = 0, если r = 0. Еще раз повторим, что Р — современное значение (present value), S — будущее значение (future value), R — периодическая выплата (fixed payment), r — процентная ставка за период (ш1еге81 га1е), п — количество периодов (number of periods), type— тип ренты, если tуре = 0 или опущен, то рента постнумерандо (выплата в конце периода), если tуре = 1, то рента пренумерандо (выплата в начале периода).
ПРИМЕР 7.1.
На счет в банке вносится сумма 10000 долл. в течение 10 лет равными долями в конце каждого года.
Годовая ставка 4%. Какая будет сумма на счете после 10 лет?
Решение.
Платежи осуществляются в конце периодов (рента постнумерандо), поэтому тип = 0 (или его можно опустить).
Формула = Б3( 4%, 10, -1000) (аргумент начальное_значение также необязательный, и мы его опустили).
Результат: $12 006.11.
Если же сумма вносится в начале года (рента пренумерандо), то формула принимает вид: = Б3( 4%, 10, -1000, , 1).
Результат, естественно, получается выше: $12 486.35.
Разность между этими двумя значениями можно вычислить как =БЗ(4%, 10,0,-1000)-1000. Подумайте, почему.

ПРИМЕР 7.2. Рассматриваются две схемы вложения денег на 3 года: в начале каждого года под 24% годовых или в конце каждого года под 36%. Ежегодно вносится по 4000. Какая схема выгоднее?
Теперь рассмотрим задачу: как по будущему значению (future value) определить современное значение (present value).

ПРИМЕР 7.3.
Вексель на 3 000 000 долл. с годовой учетной ставкой 10% с дисконтированием два раза в год выдан на два года.
Найти исходную сумму, выданную под этот вексель.
Решение.
До сих пор мы использовали функцию БЗ —- будущее значение.
Теперь воспользуемся функцией ПЗ — приведенное (современное) значение.
Внимательно прочитайте ее описание в справочной системе.
Синтаксис функции ПЗ:

П3(норма, количество_периодов, выплата, будущее_значение, тип).

В нашем случае задача осложняется тем, что задана ставка дисконта, а аргумент норма подразумевает процентную ставку.
Поэтому предварительно нужно пересчитать дисконтную ставку в процентную.
Ниже приведена таблица, решающая задачу (рис. 8.1).
В столбце С помещены формулы столбца В, преобразованные в текст.

А
В
С

1
Годовая учетная ставка
10%
2
Периодичность выплат
2
3
Будущее значение
-$3 000 000.00
4
Количество лет
2
5

6
Учетная ставка за период
5.00%
=В1/В2

7
Процент за период
5.26%
=В6/(1-В6)

8
Современное значение
$2443518.75
=ПЗ(В7,В2*В4„ВЗ)
Рис. 7.1

ПРИМЕР 7.4. Рассматриваются два варианта покупки недвижимости: заплатить сразу 70 000 руб. или платить ежемесячно по 800 руб. в течение 12 лет при ставке 9% годовых.
Какой вариант более выгоден?
Теперь обратимся к задаче определения продолжительности ссуды при заданных современном и будущем значениях, процентной ставке.

ПРИМЕР 7.5.
За какой срок в годах сумма, равная 75 000 долл., достигнет 200 000 долл. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально.
Решение.
Воспользуемся функцией КПЕР(норма, выплата , начальное значение, будущее значение,тип)
Решение дается формулами:
1) раз в год =КПЕР( 15%, 0, -75, 200) (=7.01786);
2) по кварталам =КПЕР( 15% / 4, 0, -75, 200) 14 (=6.66071).
Обратите внимание, что во втором случае КПЕР возвращает количество кварталов, поэтому, чтобы пересчитать их в годы, нужно поделить возвращаемый результат на 4. И еще: нет никакой необходимости набирать все нули в современной и будущей сумме — достаточно сохранить между ними пропорциональность.
ПРИМЕР 7.6. Перевести полученные результаты из дробного числа лет в число лет и дней.

ПРИМЕР 7.7. Почему формула = КПЕР( 15%, 0, 75, 200) возвращает ошибочное значение?

ПРИМЕР 7.8. Ссуда 63 200 руб., выданная под 32% годовых, погашается ежеквартальными платежами по 8400 руб.
Рассчитайте срок погашения ссуды.
Представляет интерес и такая задача: как, зная современное и будущее значение суммы, а также периодические равные выплаты, вычислить процентную ставку.
Эту задачу решает функция:

НОРМА ( количество_периодов, выплата, начальное_значение, будущее_значение, тип, начальное_приближение)

Функция возвращает процентную ставку за один период.
Начальное_приближение по умолчанию составляет 10%.

ПРИМЕР 7.9.
Пусть в долг на полтора года дана сумма 2000 долл. с условием возврата 3000 долл.
Вычислить годовую процентную ставку.
Решение. = НОРМА( 1.5, , 2000, -3000).
Результат:

31%.
ПРИМЕР 7.10.
Выдан кредит 200 000 долл. на два с половиной года.
Проценты начисляются раз в полгода.
Определить величину процентной ставки за период, если известно, что возврат составит 260 000 долл.
Решение. = НОРМА( 2.5*2. , 200000, -260000).
Результат:

5.39%.
Но так как в договорах часто указывается именно годовая ставка, даже если период меньше года, то полученный результат следует обработать функцией
НОМИНАЛ( фактическая ставка, количество периодов в году).
По заданной ставке для периода эта функция возвращает эквивалентную годовую ставку.
ПРИМЕР 7.11.
В условиях предыдущего примера найти годовую ставку.
Решение. =НОМИНАЛ( 5.39%, 2) (год составляют два полугодия).
Результат:

5.32%.
С функцией НОМИНАЛ тесно связана функция
ЭФФЕКТ( номинальная ставка, количество периодов в году).
По заданной годовой ставке эта функция возвращает ставку для периода.
Чтобы лучше уяснить понятия номинальной и эффективной ставок, рассмотрим следующий любопытный пример.
ПРИМЕР 7.12.
Чему равна эффективная ставка: при номинальной ставке 100% и начислении 10 000 000 раз в год, при ежедневном начислении?
Решение. =ЭФФЕКТ(1, 10000000) (=1.71828169);
=ЭФФЕКТ(1.365) (-1.71456748).
Как видим, ответы получились очень близки.
А чему равен коэффициент наращения?
= Б3( 1/365, 365, , -1) етрудно догадаться, что

В нашем случае r = 100% = 1
ПРИМЕР 7.13. Определить эффективную ставку сложных процентов, с тем чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки 18% при ежеквартальном начислении процентов.
Наиболее сложной частью анализа постоянной ренты является определение размера выплат.
Типичная ситуация здесь такова.
Кредитор выдает в начале срока некоторую сумму.
Дебитор обязуется погасить задолженность равными долями.
При этом каждую выплату можно разбить на две составляющих — одна идет на погашение основной задолженности, а другая — на процентные выплаты.
Для вычисления выплат предназначена функция
ППЛАТ(ставка, количество_периодов, начальное_зна-чение, будущее_значение, тип).
Остановимся на предпоследнем параметре. Буду-щее_значение — это баланс наличности, который нужно достичь после последней выплаты.
Если будущее значение опущено, оно полагается равным 0 (т.е. задолженность погашена).
Для нахождения общей суммы, выплачиваемой на протяжении интервала выплат, нужно умножить возвращаемое функцией ППЛАТ значение на количество периодов.
Если мы хотим узнать, какая часть выплат идет на погашение основной задолженности, то воспользуемся функцией

ОСНПЛАТ(ставка, период, количество_периодов,начальное_значение, будущее_значение, тип).

Второй параметр – период – это порядковый номер периода, для которого производится расчет.
Этот номер лежит в интервале от 1 до количёство периодов.
Часть выплат для обслуживания процентов по основному долгу вычисляется с помощью функции

ПЛПРОЦ(ставка, период, количество_периодов,
начальное_значение, будущее_значение, тип).

ПРИМЕР 7.14.
Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 40 000 долл. на 5 лет под 6% годовых.
Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи.
Начисление процентов производится раз в год.
Составить план погашения займа.
Решение.
Выплаты составляют постоянную ренту постнумерандо.
Результат вычислений представлен в таблице (рис. 7.7). А
В
С
D
Е
Р

1
Размер кредита
$40 000.00
2
Срок (лет)
5
3
Ставка
6%
4

5
Годы
Платежи по процентам
Платежи по основному долгу
Годовая выплата (как сумма)
Годовая выплата (как функция)
Остаток долга

6
1
-$2 400.00
-$7 095.86
-$9495.86
-$9495.86
$32904.14

7
2
-$1 974.25
47521.61
-$9 495.86
-$9495.86
$25382.54

8
3
-$1522.95
-$7 972.90
-$9495.86
-$9 495:

86
$17 409.63

9
4
-$1 044.58
-$8451.28
-$9495.86
-$9 495.86
$8958.35

10
5
-$537.50
-$8 958.35
-$9 495.86
-$9 495.86
$0.00

11 -$7 479.28
-$40 000.00
-$47 479.28
-$47 479.28

Рис. 7.7
В диапазоне Е1:

ЕЗ размещены исходные данные.
В формулах, осуществляющих решение задачи, используются именованные ссылки на эти ячейки, что позволяет сравнивать различные варианты: что, например, будет происходить при изменение процентной ставки.
В строках 6-10 построен план погашения по годам, а в строке 11 помещены итоговые цифры.
Ниже приведены формулы из шестой строки таблицы.
В6 =ПЛПРОЦ(ставка,А6,срок,размер_кредита)
С6 =ОСНПЛАТ(ставка,А6,срок,размер кредита)
D6 =С6+В6
Е6 =ППЛАТ(ставка ,срок, размер_кредита)
F6 =размер_кредита+С6
Номер периода берется из первого столбца.
При копировании формул номер периода изменяется.
В столбцах О и Е получены, как и следовало ожидать, одинаковые результаты.
В столбце F формулы, начиная с седьмой строки, другие: в ячейке F7 записана формула =F6+С7. Далее она была скопирована в остальные ячейки столбца.
Соответственно настроились адреса.
В ячейке В11 помещена формула =СУММ(В6:

В10).
Аналогичные формулы размещены в других ячейках 11-й строки.
Из приведенной таблицы нетрудно усмотреть, что при погашении долга равными платежами остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты.
В результате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих на погашение основного долга.

ПРИМЕР 7.15. Построить совмещенную столбиковую диаграмму, показывающую динамику платежей по годам.
В Ехсеl имеются функции, позволяющие вычислить платежи сразу за несколько периодов.
Функции ОСНПЛАТ, предназначенной для расчетов в пределах одного периода, соответствует функция
ОБЩДОХОД(ставка, количество периодов, начальное значение, номер начального периода, номер конечного периода, тип).
Аналогично, функции ПЛПРОЦ соответствует функция ОБЩПЛАТ с теми же аргументами, как и функция ОБЩДОХОД.

ПРИМЕР 7.16. На основе уже созданной таблицы поэкспериментируйте с функциями ОБЩПЛАТ и ОБЩДОХОД. Что получится, если начальный и конечный периоды совпадают, например равны 3? Что получится, если начальный период равен 1, а конечный период равен количеству периодов?
Итак, мы изучили группу финансовых функций для расчета параметров постоянной ренты.
Сложность их освоения заключалась в том, что аргументами каждой функции служило несколько параметров.
Можно выделить пять основных параметров (они перечислены ниже в таблице).
Если нам известны четыре из этих параметров, то в Ехсеl имеется функция для вычисления пятого, недостающего параметра.
В нижеследующей таблице (рис. 7.8) в левой колонке перечислены пять параметров.
В правой колонке для каждого параметра указана функция, с помощью которой можно вычислить этот параметр.
Современное значение (нз)
П3(ставка,кпер,плата,нз,тип)

Будущее значение (бз)
Б3(ставка,кпер,плата,нз,тип)

Плата
ППЛАТ(ставка,кпер,нз,бз,тип) = ОСНПЛАТ + ПЛПРОЦ

Количество периодов (кпер)
КПЕР(ставка, плата, нз, бз,тип) .

Ставка
НОРМА(кпер,плата,нз,бз,тип,нач прибл) Рис. 7.8