• Название:

    В. Г. Зелевинский, Операторные методы


  • Размер: 1.1 Мб
  • Формат: DJVU
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

    Осталось ждать: 10 сек.

Установите безопасный браузер



Краткий отрывок из начала книги (машинное распознавание)
УДК 530.145.63
ЕБК В 314.I
В.Г.Зелевинскнй
Дополнительные главы квантовой
механики. Операторные методы.
Учебное пособие. HIT, I983,
I - 82.
В учебном пособии в отличие от традиционных курсов кванто-
квантовой механики, основы которой считаются известными, центр тяже-
тяжести переносится с координатного представления волновых функций
системы на свойства симметрии, законы сохранения и операторную
структуру. Кроме общей теории квантовых операторов подробно
рассмотрены две группы вопросов: операторн рождения и уничто-
уничтожения (в том числе вторичное квантование) и физика углового
момента и группы вращений, где изложение доведено до вычисле-
вычисления с помощью представления Швтгера коэффициентов Клебша-Гор-
дана и матричных елементов конечных поворотов. Развитые методы
иллюстрируются задачами о движении в магнитном и кулоновском
полях, о когерентном сверхизлучении и о парных корреляциях
оверхпроводящего типа. Ряд вопросов до сих пор освещался лишь
в журнальной литературе. Знание теории групп не предполагается;
необходимые результата получены на "физическом" уровне строго-
строгости.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов,
аспирантов и научных работников, интересующихся квантовой тео-
теорией и ее разнообразными приложениями.
Рекомендовано редакционно-пздательским советом НГУ от
19 мая 1983 г. для' специальности 2032.
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук Б.В.Соколов,
канд. физ.-мат. наук Г.Н.Шестаков
( С ) Новосибирский государственный университет, 1983
I. КВАВТОБОМЕШагаЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Основы операторного формализма. Начнем с напоминания тех
формул квантовой механики [I, 2] , которые понадобятся в даль-
дальнейшем; попутно введем необходимые обозначения. Элементаране
квантовые понятия считаются известными.
Состояние квантовой системы задается вектором|Ф> в гильбер-
гильбертовом пространстве состояний. Для каждого вектора существует
сопряженный вектор <Ф| , причем определено скалярное произведе-
произведение < Ф] Ф'> = <Ф | Ф^.Б пространстве состояний можно ввести ба-
базис |Фк>Сили просто |к> ), который мы будем считать ортонорми-
рованным,
°'k> = V (i.i)
Квантовые переходы между состояниями системы описываются
линейными операторами А . Каждый оператор полностью задавтоя
своими матричными элементами в некотором базисе
A-fc-, A.2)
т.е. результатом действия А на базисные векторн |к>
Alk>-ZAik\i>, A.3)
который можно снова представить"как суперпозицию векторов Н>
того же базиса, ибо набор |i> является полным; в силу ортонор-
мированности (I) коэффициенты Aik разложения C) совпадают с
матричными элементами B). Отсюда следует, что любой оператор
может быть записан как
Л = ХДк UXkl, A.4)
где имеется в виду, что обе части равенства дают один и тот же
результат C) при действии на произвольное состояние. Равенст-
Равенство D) можно трактовать как перечисление всех переходов из |к>
в 1ь> , вызываемых оператором А , причем амплитуды этих пере-
переходов равны AiK . Для единичного оператора, согласно B) и (I),
Sik и D) дает разложение единицы
которое есть условие полноты набора lk> , поскольку Ikxk] -
это оператор проекции произвольного вектора на орт lk>,' а сум-
сумма всех таких проекций должна воспроизводить исходный вектор.
Операция эрмитова сопряжения есть переход от оператора А
к Я + , имеющему матричные элементы (м.э.)
А1= С- (i.6)
Наблюдаемые физические величины должны описываться эрмитовыми
(самосопряженными) операторами, для которых А *- А , т.е.
/!iK=A*^ и средние значения Акк в любом состоянии |к> веществен
ны. Действие эрмитова оператора А на некоторое состояние естъ
фактически изображение процесса измерения этой величины. Если
состояние 1аЛ не меняется под действием А , т.е. является соб
ственным вектором зтого оператора с собственным значением а>,
Л\со> = си\сиу , A.7)
то результат измерения определен однозначно и равен си . Б об-
общем случае C) измерение величины А в состоянии !к> может
дать любое из собственных значений о- с вероятностью, опреде-
определяемой проекцией lk> на |о/> :
UTK(G)=|l2 A.8)
Поскольку система \ау собственных векторов эрмитова оператора
Л является, как следует из F) и G), ортогональной и может
служить базисом, то условие полнотн E) этого базиса обеспечи-
обеспечивает правильную нормировку вероятностей (8): ЖиГ(а) = I.
СО К
Преобразование операторов. Пусть U - несингулярное преоб-
преобразование пространства состояний, а и~1 - обратное преобразо-
преобразование. Для задания и достатояно указать, во что переходят ба-
базисные векторн lk> . Если преобразование переводит |к>=йку-> =
= Щк>, то <к|=Ф<к|0+ Тогда оператор
Ли = AГу1л{}4 A.9)
имеет по преобразованным состояниям ikF>такие же м.э., какие
А имел в старых состояниях |к>.
Если преобразование сохраняет амплитуды =< Н"к>
и свойства эрмитовости операторов, то U - унитарный ппера-
тор, V^lf-'
U U ' (I.IO)
А Л Л А - 1
AV-VAV \ (I.IOa)
Л
Оператор U можно тогда представить в виде
U-e^, ¦ CI.II)
где F - эрмитов оператор.
Состояния |кт> могут быть выбраны за новый базис, а "косые"
м.э.
A.12)
дают степень перекрытия старых и новых базисных векторов (од-
(одновременно они же есть м.э. О" в старом базисе).
Часто базисом является полный набор |а> собственных векто-
векторов оператора А о собственными значениями си . ?Латрица преоб-
преобразования A2) к базису 1Ь> собственных векторов оператора Б
с собственными значениями Ь состоит из чисел <а1Ь> , т.е.
"косинусов углов" меэду ортами двух базисов:
Пусть унитарное преобразование "О" зависит от непрерывно ме-
меняющихся вещественных параметров olv (удобно их выбрать так,
чтобы ocv= о отвечало отсутствию преобразования,, т.е. единич-
единичному оператору tRo) = I). Тогда при малых ос можно считать
преобразование линейным, полагая в (II) F~Zctv?v ,
л & л
Эрмитовы операторы G^ называются генераторами преобразования U.
Коммутационные соотношения. Поскольку результат последова-
последовательного действия двух операторов А, Б может зависеть от их
порядка (АВ ^ БА), удобно определить их антисимметризованнуго
и симметризованную комбинации: коммутатор
и антикоммутатор Л Л л л
[А,В],= АВ*ВА. (I.I6)
Если А и В - эрмитовы операторы, то их антикоммутатор тоже эр-
эрмитов, а коммутатор - антиэрмитов, т.е. меняет энак при эрмито-
эрмитовом сопряжении.
Коммутаторы операторов А с генераторами G^ непрерывных пре-
преобразований (I.I4) определяют зависимость преобразованных опе-
реторов Аи = .А(.°Оот параметров <<- . Действительно, из AОа) и
A4) следует
Некошлу тирующие эрмитовы операторы Ля Вне имеют общих соб-
собственных функций, и, следовательно, не существует физических
состояли::, в которых Л и В одновременно имеют определенные зна-
значения.
Полагая г л к т ¦г
[Л.В1-1-С. AЛ8)
где С - опять эрмитов оператор, легко найти соотношение не-
неопределенностей для измерения величин А и В в произвольном со-
состоянии tk>:
АА.&В* []4, U.I9)
где операторы д А и л 3 определены как отклонения от сред-
среднего значения, например л А = А-<ЫА|к>.Для операторов коорди-
координаты частицы а и сопряженного к ней импульса р имеем канони-
каноническое перестановочное соотношение (алгебра ГеЙзенберга - БеЙ-
и соотношение неопределенности
Д?С ДО ^-~Т i (Т ОТ\
причем в данном случае ( С =ti = consl) оценка B1) одинакова
для всех состояний lk> .
" Используя значения коммутаторов (алгебру операторов), можно
.<(;¦ ? найти м.з. в удобном представлении. Например, в координатном
? ' представлении, т.е. по состояниям |х> с определенным значением
л координаты .х , имеем
тогда B0; дает для м.э. импульса р
Координатная волновая функция tf^ix) (в,ф^ произвольного со-
состояния lk> есть амплитуда вероятности найти для зтого состоя-
состояния частицу в точке «^ . Поэтому она выражается проекцией век-
вектора lk> на вектор 1-х> :
' Ук(д:)=<ж1к>. A.24)
Согласно ДЗ, 22 и 24), находим действие оператора координаты
на координатную в.ф.:
и аналогично для оператора импульса
что отвечает стандартному виду операторов в координатном
представлении:
=Jc
p —iis JL ¦ A.27)
9
Калибровочная инвариантность. Заметим, что реализация алгеб-
алгебры B0) операторами B2, 23) неоднозначна: к оператору р ,
взятому в виде B7), можно добавить любую веадественаую функцию
fOJ без изменения B0).
I.I. Доказать, что различные выборы f(x) физически эквива-
эквивалентны, так как отвечают унитарному преобразованию (Юа)
}ае*'^(*'; ?1'2В)
при котором все в.ф. приобретают одинаковые фазы.
Ситуация усложняется в многомерном случае, когда есть не-
несколько координат х,^ и сопряженных импульсов рсС§ причем
б
^
1.2. Показать, что преобразование Poc-^pot + focC^ J является
каноническим (сохраняет коммутационные соотношения B9)) лишь
в случае, если поле f^f-sc) является беэвихревым,
Б этом случае можно ввести "потенциал" (рfa:; так, что ^(х)=-?,
и преобразование B8) приобретает вид 1/-е*р|--?[(р(л)--((>(л )]1
В силу потенциальности поля fdfje; фаза (pfx; - однозна
функция координат и интеграл в экспоненте B8) ие зависит от
пути интегрирования. Тогда преобразование U дает новый набор
переменных и новые в.ф., описывающие ту же физическую картину.
Поле frfG*) ненаблюдаемо ("калибровочное") и может быть убрано
переопределением фаз векторов состояния.
Введем операторы плотности §(х) и плотности потока ~j(x.),
завиояпще от пространственной точки ж как от параметра:
7(-)-^[?,6(i-^)]+. A.32)
Здесь "I _ масса частицы, а симметризация в C2) необходима
для эрмитовости j" (ср. A6)); следует различать оператор ко-
координаты х- и фиксированную точку л. .
1.3. Показать, что средние значения операторов C1, 32) по
7
состоянию \к> выражаются стандартным образом через координат-
координатную в.ф. B4) ^wsU^e^^aToro состояния, взятую в точке
Зс :
""Sr?K^*fK(?). A.34а)
При калибровочном преобразовании в.ф. B8) и соответствующем
"удлинении" р —^р + —? оператора импульса наблюдаемые ве-
личины C3, 34), естественно, не меняются.
Если же поле f^c*) не потенциально, то его нельзя исклю-
исключить выбором калибровки и оно приводит к наблюдаемым эффектам.
В этом случае преобразование р -^р^.= р^+^ох) не канонично,
формально введенная "фаза" j d^/ fysZ) не являетоя одноэначиой
функцией координат, а зависим от пути интегрирования. Такая
ситуация возникает при движении заряженной частиш в магнитном
поле ЛТ,-* j T -*
Jt(&) =тоЬЛ(л), A.35)
когда, как и в классической теории поля [3] , новый импульс
еоть х- -х в ¦* д.
р = Р-Тлс^л ?1#э6)
где аргументом векторного потенциала А {3.1 является координата
частицы. Импульсы ^' C6), в отличие от "р , удовлетворяют
вместо B9) новым перестановочным соотношениям tf*" ~§4с).'
р /
Плотность C3) остается инвариантной, но ток C4) приобретает
диамагнитное слагаемое:
Дальнейшие калибровочные преобразования JL-^jL^JL+v^xq влияют
ни на величину магнитного поля % , ни на коммутатор C7), ни
на плотность тока, если ввести нужную фазу в в.ф.
Лестничные операторы. Пусть в результате коммутации двух
операторов А и В воспроизводится один из них
где л - число, играющее роль собственного значения (конечно,
можно положить /1=1, включая '/я в Б). Пусть 1Ь> - собст-
собственное состояние оператора В с собственным значением Ь
В1Ь> = ЫЬ> . 'A.40)
Тогда из C9) и D0) следует, что
(MB-ВА)|Ь> = ЛД1Ь> = (ЬА-БА)|Ь>,
и состояние Д1Ь> вновь отвечает определенному значению опера-
оператора Б, а именно Ь - а :
ЬЛ1Ь>-СЬ-^)Л|Ь>. A.40а)
Таким образом, оператор А, удовлетворяющий C9), позволяет по-
понизить значение Б на величину А . Последовательное действие
понижающего